Электроны движутся через щель шириной 
(рис.20.2.1). На экране Э под углом 
наблюдается первый дифракционный минимум, для которого можно записать
.
Справа от экрана представлен график распределения интенсивности электронов на экране при дифракции. Для данного случая учитываем, что ширина щели равна 
и для первого минимума порядок спектра 
, получаем
. (6.2)
Обозначим р импульс электрона, проходящего через щель в направлении первого минимума.
Из чертежа для проекции импульса электрона 
на ось Х можно записать
. (6.3)
Из формулы (6.2) определим синус угла и подставим его в формулу (6.3)
. (6.4)
Импульс электрона находим из формулы длины волны де Бройля
,
учитывая его в в формуле (20.2.4), получим
; 
или
. (6.5)
Для электронов, попадающих на экран дальше первого минимума, можно записать
.
Проводя расчеты аналогичные предыдущему случаю, получим
. (6.6)
Объединяя обе формулы (6.5) и (6.6), можно записать соотношение неопределенностей для импульса и координаты
.
Постоянная Планка h > ħ, т.к. ħ = 
, поэтому опять выполняется соотношение (6.1).
Рассмотрим пример 3. Электрон в атоме движется со скоростью
~106 м/с в области 
~10-10м.
Вычислим погрешность измерения скорости электрона
= 
~106 м/с.
Получили, что неопределенность скорости (погрешность измерения) и само значение скорости электрона одного порядка, значит, скорость электрона точно измерить одновременно с координатой нельзя.
При движении частицы в пространстве соотношение неопределенностей будет иметь следующий вид
ħ; 
ħ; 
ħ.
Физический смысл соотношения неопределенностей заключается в том, что оно устанавливает границы применимости классической механики: для микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул) необходимо применять законы квантовой механики.
|
|
2. Соотношение неопределенностей для энергии и времени записывают в следующем виде:
ħ.
Произведение неопределенности энергии 
системы на неопределенность длительности процесса измерения 
не меньше постоянной Планка.
Если среднее время жизни частицы , то в течение этого времени частица может иметь разные значения энергии Е, т.е. может находиться в атоме в разных состояниях, которым соответствуют разные значения энергии. Интервал разрешенных значений энергии частицы равен неопределенности энергии .
ПРИМЕРЫРЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Положение пылинки массой m=1015кг определено с точностью до106 м. Найти неточность в определении скорости пылинки.
Дано: m=1015кг; ∆х=106м
Найти: 
-?
Решение
Соотношение неопределенностей Гейзенберга имеет следующий вид
,
где неопределенность импульса равна
.
Подставляя эту формулу в выражение, получим для неопределенности скорости расчетную формулу 
Вычисления: ∆υ= 
Ответ: 
=1м/с.
Пример 2. Неопределенность скорости электронов, движущихся вдоль оси абсцисс, составляет 
м/с. Какова неопределенность координаты, определяющей местоположение электрона?
Дано: 
м/с
Найти: 
=?
Решение
Соотношение неопределенностей Гейзенберга имеет следующий вид 
.
Неопределенность импульса электрона равна
.
Подставляя неопределенность импульса в первую формулу, получим неопределенность координаты электрона
.
Вычисления:
∆х= 
Ответ: 
=11,6 ∙ 
м.
ЗАДАЧИ
1. Определить неточность в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью V = 2·10 6 
, если допускаемая неточность в определении скорости D V составляет 10 % от ее величины. Сравнить с диаметром атома водорода и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае (d ~ 10 –10м).
|
|
2. Определить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию Wmin электрона, движущегося внутри сферической области диаметром d = 0,1 нм.
3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной «яме» шириной l = 0,1 нм. Определить в электрон-вольтах наименьшую разность энергетических уровней электрона.
4. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 . 10 –15 м.
5. Электрон, неопределенность импульса которого не превышает 1 %, движется в электронно-лучевой трубке со скоростью 10 8 
. Можно ли в данном случае рассматривать электрон как материальную частицу, т.е. не учитывать его волновые свойства?
6. Используя соотношение неопределенностей, оценить наименьшие ошибки в определении скорости электрона и протона, если координаты центра масс этих частиц могут быть установлены с неопределенностью 1 мкм.
7. Электрон с кинетической энергией W = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1 мкм. Оценить (в процентах) относительную неточность, с которой может быть определена скорость электрона.
8. Используя соотношение неопределенностей для импульса и координаты, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ~ 1 . 10 –10 м.
|
|
9. Приняв, что минимальная энергия нуклона в ядре Wmin = 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, размеры ядра.
10. Пучок электронов с энергией W = 10 эВ падает на щель шириной а. Если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью D х = а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса 
электрона при а = 1 . 10 –8 м.
11. При движении вдоль оси х скорость оказывается определенной с точностью D Vx = 10 –2 
. Оценить неопределенность координаты D х: а) для электрона; б) для броуновской частицы массой т ~ 10 –15 кг; в) для дробинки массой т ~ 10 –4 кг.
12. Исходя из того, что радиус атома имеет величину порядка 10 –10 м, оценить скорость движения электрона в атоме водорода.
13. Оценить наименьшую ошибку, с которой можно определить скорость протона, если координата установлена с неопределенностью 1нм.
14. Во сколько раз дебройлевская длина волны l -частицы меньше неопределенности ее координаты D х, которая соответствует неопределенности импульса в 1 %?
15. Если допустить, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, то какова будет относительная неточность 
импульса этой частицы?
16. Используя соотношение неопределенностей, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Wmin электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.
17. Используя соотношение неопределенностей 
, оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома l ~ 
.
18. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разностью потенциалов U = 1кВ. Известно, что неопределенность скорости составляет 0,1% от ее числового значения. Определите неопределенность координаты электрона. Являются ли электроны в данных условиях квантовой или классической частицей?
19. Определите отношение неопределенности скорости электрона, если его координата установлена с точностью до 10-5 м, и пылинки массой m = 10-12 кг, если ее координата установлена с такой же точностью.
20. Определить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, находящегося в области размером 0,2 нм.
21. Пучок электронов с энергией W = 10 эВ падает на щель
шириной а. Если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью D х = а. Оценить получаемую при этом относительную неточность в определении импульса электрона при а = 1. 10 –10 м.
22. Оценить наименьшую ошибку, с которой можно определить скорость протона, если координата установлена с неопределенностью 1мкм.
23. Свободный электрон в момент времени t = 0с локализован в области D х = 0,10 нм(порядка размера атома. Оценить ширину области локализации этого электрона спустя t = 1 с.
24. Положение пылинки массой т ~ 10 –15 г определено с точностью до 10 –6 м. Определить неточность в определении скорости пылинки.
25. Оценить наименьшую ошибку, с которой можно определить скорость протона, если координата установлена с неопределенностью 1нм.
26. Применяя соотношение неопределенностей для времени и энергии определить размытость возбужденного состояния атома водорода (ΔЕ), время жизни которого равно Δt=10-8 с.
27. Длина волны, излучаемого атомом фотона составляет 0,6 мкм. Время жизни возбужденного состояния Δt=10-8 с. Найти отношение ширины энергетического уровня (ΔЕ) возбужденного состояния к энергии, излучаемой атомом, применяя соотношение неопределенности для энергии и времени.
28. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой трубке разность потенциалов 1 кВ. Неопределенность скорости составляет 0,1% От ее числового значения. Определить неопределенность координаты электрона.
29. Молекулы водорода участвуют в тепловом движении при температуре ΔТ=300 К. Найти неопределенность координаты Δх молекул водорода.
30. Неопределенность скорости электрона движущихся вдоль оси абсцисс составляет Δv=100 м/с. Какова неопределенность координаты Δх, определяющей местоположение электрона.
Тестовые задания
1. Что называется внешним фотоэффектом?
А. Внешний фотоэффект – перераспределение электронов по энергетическим состояниям в твердых и жидких полупроводниках, происходящее под действием света;
Б. Внешний фотоэффект – возникновение под действием света ЭДС в системе, состоящей из контактирующих полупроводника и металла;
В. Внешний фотоэффект – испускание электронов веществом под действием света;
Г. Внешний фотоэффект – испускание электронов под действием теплового излучения;
Д. Внешний фотоэффект – испускание светом заряженных частиц.
2. Что показывает площадь под кривой зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны?
А. 
; Б. 
; В. Ф; Г. RЭ; Д. dW.
3. Какова формула релятивистской массы фотона
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
4. Чему равна поглощательная способность абсолютно черного тела для всех частот?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
5. Физический смысл коэффициента поглощения (поглощательной способности)
А. 
- энергия электромагнитных волн всевозможных частот от 0 до ∞, излучаемых за единицу времени с единицы площади поверхности тела;
Б. 
- энергия, излучаемая телом с единицы площади поверхности тела в единицу времени в единичном интервале длин волн при данной температуре;
В. - отношение потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него;
Г. - энергия, излучаемая телом в единицу времени;
Д. - полная мощность, переносимая электромагнитным излучением через какую либо поверхность при данной температуре.
6. Чему равна энергия кванта электромагнитного излучения?
А. 
, где 
- частота излучения; h – постоянная Планка;
Б. 
, где - частота излучения; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме;
В. 
, где - частота излучения; h – постоянная Планка; с – скорость света в вакууме;
Г. 
, где - частота излучения; h – постоянная Планка;
Д. 
, где р - частота излучения; h – постоянная Планка;
7. Каков физический смысл энергетической светимости (интегральной испускательной способности) тела (RЭ)?
А. RЭ – числено равна энергии электромагнитных волн всевозможных частот от 0 до ∞, излучаемых за единицу времени с единицы площади поверхности тела;
Б. RЭ – энергия, излучаемая телом с единицы площади поверхности тела в единицу времени в единичном интервале длин волн при данной температуре;
В. RЭ – отношение потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него;
Г. RЭ – отношение потоков монохроматического излучения;
Д. RЭ – энергия, излучаемая телом в единицу времени.
8. Как связана энергетическая светимость тела со спектральной плотностью энергетической светимости?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
9. Указать единицу измерения постоянной Планка.
А. Дж; Б. Н/с; В. 
; Г. 
; Д. А/м.
10. Каков физический смысл потока излучения Ф?
А. Ф – численно равен энергии электромагнитных волн частот от 0 до ∞, излучаемых за единицу времени с единицы площади поверхности тела;
Б. Ф – полная мощность, переносимая электромагнитным излучением через какую-либо поверхность при данной температуре;
В. Ф – отношение потоков монохроматического излучения;
Г. Ф – отношение потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него;
Д. Ф – энергия, излучаемая телом с единицы площади поверхности тела в единицу времени в единичном интервале частот при данной температуре.
11. Какой вид имеют спектры теплового излучения?
А. линейные; Б. спектральные; В. радужные;
Г. сплошные; Д. полосатые.
12. Как записывается закон Стефана – Больцмана?
А. 
; Б. 
; В. 
;
Г. 
; Д. 
.
13. Как зависит энергетическая светимость абсолютно черного тела от его термодинамической температуры?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
14. Что называется спектральной плотностью энергетической светимости?
А. 
численно равна энергии электромагнитных волн всевозможных частот от 0 до ∞, излучаемых за единицу времени с единицы площади поверхности тела;
Б. энергия, излучаемая телом с единицы площади поверхности тела в единицу времени в единичном интервале длин волн при данной температуре;
В. отношение потока излучения, поглощенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него;
Г. отношение потока монохроматического излучения;
Д. энергия, излучаемая телом в единицу времени.
15. Как зависит длина волны 
, соответствующая максимальному значению спектральной энергетической светимости 
абсолютно черного тела от абсолютной температуры?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
16. Как записывается закон излучения Вина?
А. ; Б. ; В. 
;
Г. 
; Д. 
.
17. Как записывается формула потока излучения?
А. ; Б. ; В. ;
Г. ; Д. .
18. Чему соответствует максимум графика зависимости спектральной плотности энергетической светимости от длины волны?
А. Длина волны, на которую приходится максимум излучения;
Б. Частота, на которую приходится максимум излучения;
В. Полной мощности излучения;
Г. Длина волны, на которую приходится минимум излучения;
Д. Длина волны видимого участка спектра.
19. Какое излучение называется тепловым излучением?
А. Тепловое движение атомов;
Б. Тепловое движение молекул;
В. Инфракрасное излучение атомов и молекул;
Г. Видимое излучение атомов и молекул;
Д. Электромагнитное излучение, возникающее при тепловом движении атомов и молекул.
20. Чему равна энергия фотона?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
21. Как записывается формула, определяющая коэффициент поглощения?
А. ; Б. ; В. ; Г. ; Д. .
22. Как связан поток энергии, излучаемой абсолютно черным телом, с энергетической светимостью?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
23. Выбрать единицу измерения коэффициента поглощения для абсолютно черного тела
А. Дж/с; Б. Н/м2; В. 1; Г. Па. с; Д. А . В.
24. Как записывается закон Кирхгофа для теплового излучения?
А. 
; Б. 
; В. 
Г. 
Д. 
25. Выбрать единицу измерения энергетической светимости
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
;
26. Какова формула закона смещения Вина?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
;
27. Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела.
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
28. Формула задерживающего напряжения для фотоэффекта
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
29. Третий закон внешнего фотоэффекта.
А. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой;
Б. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света;
В. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света, ниже которой фотоэффект невозможен;
Г. Сила фототока насыщения обратно пропорциональна энергетической освещенности катода.
30. Выбрать уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
А. 
; Б. 
; В. 
;
Г. 
; Д. 
.
31. Как записывается уравнение Эйнштейна для красной границы фотоэффекта?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
31. Укажите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта через задерживающую разность потенциалов.
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
32. Указать условие наблюдения фотоэффекта
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
33. Выбрать правильную формулу уравнения Эйнштейна для внешнего фотоэффекта.
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
34. Чему равна максимальная скорость нерелятивистских электронов при фотоэффекте?
А. 
; Б. 
; В. 
Г. 
; Д. 
35. Выбрать график вольт - амперной характеристики фотоэффекта
| I |
| I |
| I |
| I |
| I |
| U |
| U |
| U |
| U |
| U |
А Б В Г Д
36. Формулировка первого закона фотоэффекта (закона Столетова)?
А. сила фототока насыщения обратно пропорциональна энергетической освещенности катода;
Б. максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой;
В. для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света, ниже которой фотоэффект невозможен;
Г. при фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света.
37. Как импульс фотона связан с частотой?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
38. Второй закон внешнего фотоэффекта.
А. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой;
Б. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света;
В. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекты, т.е. максимальная частота света, ниже которой фотоэффект невозможен;
Г. Сила тока насыщения обратно пропорциональна энергетической освещенности катода.
39. Укажите формулу изменения длины волны в эффекте Комптона
А. 
; Б. 
; В. 
;
Г. 
; Д. 
40. Почему эффект Комптона наблюдается в области рентгеновского излучения?
А. Так как Δλ не зависит от λ и относительное изменение 
наибольшее для малых λ;
Б. так как Δλ зависит от λ и относительное изменение наибольшее для больших λ;
В. так как Δλ зависит от угла α;
Г. так как Δλ не зависит от угла α;
Д. так как эффект Комптона нельзя объяснить на основе классической волновой теории света.
41. Как определяется комптоновская длина волны электрона?
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
42. Чему равна кинетическая энергия электрона отдачи при эффекте Комптона?
А. 
; Б. 
; В. 
;
Г. 
; Д. 
.
43. Что называется эффектом Комптона?
А. выбивание электронов из металла под действием света;
Б. упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и γ - излучений) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длины волны;
В. освобождение электронов от связи с атомом в полупроводнике.
44. Какова природа света с корпускулярной точки зрения?
А. Поток нейтральных частиц; Б. Поток позитронов;
В. Поток фотонов; Г. Поток протонов; Д. Поток электронов.
45. В чем суть гипотезы де Бройля?
А. Все движущиеся материальные микрочастицы обладают свойством корпускулярно – волновой двойственности;
Б. Все материальные микрочастицы обладают свойством корпускулярно – волновой двойственности;
В. Все движущиеся материальные тела обладают свойством корпускулярно - волновой двойственности;
Г. Все материальные тела обладают свойством корпускулярно – волновой двойственности;
Д. С движением материальных тел связан некоторый волновой процесс.
46. В каких явлениях проявляются волновые свойства микрочастиц?
А. Интерференция, дифракция; Б. Дифракция;
В. Поляризация; Г. Интерференция; Д. Дифракция, поляризация.
47. Что представляют собой волны де Бройля?
А. Квадрат модуля амплитуды волн де Бройля есть мера вероятности нахождения частицы в данной области пространства;
Б. Электромагнитные волны, связанные с движением частицы;
В. Упругие волны, связанные с движением частицы;
Г. Колебания частицы, связанные с ее движением в пространстве;
Д. Амплитуда волны де Бройля определяет импульс движущейся частицы.
48. Выбрать формулу длины волны де Бройля для релятивистских частиц
А. 
; Б. 
; В. 
;
Г. 
; Д. 
.
49. Соотношение неопределенностей для энергии и времени
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
50. Определите правильное выражение соотношения неопределенностей Гейзенберга
А. 
; h – постоянная Планка; Δx, Δy, Δz – интервалы координат локализации частицы;
Б. 
; h – постоянная Планка; Δx, Δy, Δz – интервалы координат локализации частицы;
В. 
; 
- элемент объема пространства локализации частицы; 
- интервал импульса частицы;
Г. 
; - элемент объема пространства локализации частицы; - интервал импульса частицы;
Д. 
; 
- интервалы, в которых заключены проекции импульса частицы на оси XY, Z.
51. Формула частоты кванта ультрафиолетового света, излучаемого атомами водорода.
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
52. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени
А. 
; Б. 
; В. 
; Г. 
; Д. 
.
53. Как формулируется соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени?
А. произведение неопределенности энергии на неопределенности времени не меньше постоянной Планка;
Б. произведение неопределенности импульса на неопределенности координаты не меньше постоянной Планка;
В. произведение неопределенности импульса на неопределенность координаты равно постоянной Планка;
Г. произведение неопределенности энергии на неопределенность времени больше постоянной Планка.
54. Второй постулат Бора.
А. при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (или поглощается) фотон с энергией 
;
Б. в атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергию. Стационарными являются состояния, для которых момент импульса электрона кратен постоянной Планка: 
(n = 1, 2, 3,…);
В. при фиксированной частоте падающего света число электронов, вырываемых из катода за единицу времени пропорционально интенсивности света;
Г. сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности катода
55. Что представляет собой классическая модель нейтрального атома?
А. В центре атома находится ядро с электрическим зарядом 
, вокруг которого вращаются Z электронов с суммарным зарядом 
;
Б. В положительно заряженную сферу зарядом внедрены отрицательные электроны;
В. Вокруг заряженного ядра вращаются заряженные электроны с компенсирующим зарядом;
Г. Сфера, имеющая размер атома, заполнена движущимися электронами, протонами и нейтронами;