Колебания и волны. переменный ток

Часть А

1. Колебание материальной точки, масса которой 10^–2 кг, описывается уравнением м. Определите период колебаний, максимальное значение возвращающей силы, отношение кинетической и потенциальной энергии точки для тех моментов времени, когда смещение составило , построите в одних осях координат в пределах одного периода зависимость смещения, потенциальной, кинетической и полной энергий от времени.

Дано: m = 10-2 кг м	Решение: Уравнение колебаний x = A sin(ω t + φ0). Сравним с заданным уравнением. Получаем, что A = 0,1 м; рад/с. Т.к. период есть величина обратная круговой частоте, то можем рассчитать (с).
Т –? F max –? W к / W п –?

Скорость есть первая производная от смещения υ = х ¢ = А ωсos(ω t + φ₀). Скорость будет максимальной, если максимален косинус сos_max(ω t + φ₀) = 1. Тогда υ_max = А ω. Ускорение есть первая производная от скорости a = υ¢ = – А ω²sin(ωt + φ₀). Максимальное ускорение будет при максимальном синусе. sin_max(ωt + φ₀) = 1. Отсюда a _max = А ω². F = m a = – m × A × ω² × sin(ω× t + φ₀);

F _max = mА ω²; (H);

;

; , если ,

; . ;

;

Ответ: Т = 4 с; F _max = 2.46×10^–3 Н; W _к = 3 W _п.

2. Во сколько раз увеличится полная механическая энергия маятника при уменьшении его длины в 4 раза и увеличении амплитуды колебаний в 3 раза?

Дано: l 1 = 4 l 2 A 2 = 3 A 1	Решение: полная механическая энергия маятника , где .
W 2 / W 1 –?

Тогда . .

Ответ: W ₂ / W ₁ = 144.

3. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине на 600 г, то период колебаний груза возрастет в 2 раза. Определите массу первоначально подвешенного груза.

 

Дано: D m = 600 г = 0,6 кг T 2 = 2 T 1	Решение: m 2 = m 1 + D m. Период математического маятника ;
m 1 –?

. По условию T ₂ = 2 T ₁; ; ; ; m ₁ = 0.2 (кг).

Ответ: m ₁ = 0,2 кг.

4. Первичная обмотка трансформатора с коэффициентом трансформации 5 включена в сеть напряжением 220 В. Сопротивление вторичной обмотки трансформатора 2 Ом, ток во вторичной обмотке 3 А. Определите напряжение на зажимах вторичной обмотки. Потерями в первичной обмотке пренебречь.

Дано: k = 5 U 1 = 220 В R 2 = 2 Ом J 2 = 3 А	Решение: Коэффициент трансформации ; ε = U + J × r. В первичной обмотке J 1 мал, ε1 » U 1; ε2 = U 2 + J 2 r 2, r 2 – сопротивление вторичной обмотке.
U 2 –?

Тогда Отсюда можем посчитать

Ответ: U ₂ = 38 В.

5. В процессе колебаний в идеальном колебательном контуре в момент времени t заряд конденсатора q = 4 нКл, а сила тока в катушке J = 3 мА. Период колебаний Т = 6,3 мкс. Найдите амплитуду колебаний заряда.

Дано: q = 4 нКл = 4×10-9 Кл J = 3 мА = 3×10-3 А Т = 6.3 мкс = 6,3×10-6 с	Решение: Из закона сохранения энергии ; . Формула Томпсона: ;
qm –?

, тогда (Кл).

Ответ: q_m = 5×10^–9 Кл.

6. Емкость колебательного контура радиоприемника 0,2 пФ, а в катушке индуктивности возникает э.д.с. самоиндукции 0,1 В при скорости изменения в ней тока, равной 2 А/с. Определите на какую длину волны настроен радиоприемник?

Дано: С = 0.2 пФ = 2×10-13 Ф ε = 0.1 В D J /D t = 2 А/с	Решение: λ = сТ, где Т – период колебаний, который можно определить из формулы Томпсона: .
λ =?

Э.д.с. самоиндукции , отсюда . Тогда и

λ = 188 (м).

Ответ: λ = 188 м.

7. Если звуковая волна с частотой колебаний 500 Гц распространяется в металлическом стержне со скоростью 2 км/с, то расстояние между ближайшими точками волны, отличающимися по фазе на p/2, будет равно:

1) 1 м 2) 2 м 3) 4 м 4) 6 м 5) 8 м

Дано: ν = 500 Гц υ = 2 км/с = 2000 м/с Dφ = p/2	Решение: , где ; (м).
D l –?

Ответ: [1]

8. Ток в идеальном колебательном контуре изменяется по закону J (t) = 0,01cos(1000 t) А. Найдите индуктивность контура, если емкость конденсатора равна 20 мкФ.

1) 0,5 мкГн 2) 10 мкГн 3) 40 мкГн 4) 30 мкГн 5) 50 мкГн

Дано: J (t) = 0,01cos(1000 t) АC = 20 мкФ = 2×10–5 Ф	Решение: ; ; ω = 1000 (рад/с); (Гн) = 50 (мГн).
L –?

Ответ: [5]

9. Если в неподвижном лифте период собственных колебаний математического маятника равен Т, то период колебаний этого маятника в лифте, движущемся вниз с ускорением 0,5 g, будет равен:

1) 2 Т 2) 3) Т 4) Т /2 5)

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется по формуле ; ; ; .

Ответ: [2]

10. Точка совершает гармонические колебания с периодом 0,5 с и амплитудой 2 см. Максимальная величина ускорения этой точки равна:

1) 3,2 м/с² 2) 4,5 м/с² 3) 6,4 м/с² 4) 8 м/с² 5) 12 м/с²

Дано: T = 0,5 c A = 2 см = 0,02 м	Решение: Уравнение колебаний: x = A sin ω t. Ускорение есть вторая производная от смещения: а = А ω2sin ω t.
a max –?

(м/с²).

Ответ: a _max = 3,2 м/с²[1]

Часть Б

1. (6.7.5). Один из двух математических маятников совершил 10 колебаний, а другой за это же время – 6 колебаний. Разность длин маятников составляет 16 см. Определите длины маятников. Результат представьте в единицах СИ.

Дано: N 1 = 10 кол. N 2 = 6 кол. D l = 0.16 м	Решение:
; . Разделим первое уравнение на второе:
l 1 –? l 2 –?

; ; ; l ₁ = 0,36 l ₂

l ₂ = l ₁ + D l = 0,36 l ₂ + D l, отсюда l ₂ = 0,25 (м); l ₁ = 0,09 (м)

Ответ: l ₁ = 0,09 м; l ₂ = 0,25 м

2. (6.7.20). Ареометр массой 0,2 кг плавает в жидкости. Если его погрузить немного в жидкость, а затем отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом 3,4 с. Считая колебания ареометра гармоническими и незатухающими, найти плотность жидкости, в которой он плавает. Радиус вертикальной цилиндрической трубки ареометра равен 5,0 мм. Принять g = 10 м/с². результат представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.

Дано: m = 0,2 кг Т = 3,4 с r = 5,0 мм g = 10 м/с2	Решение:
	Условие равновесия ареометра FA = ρж × g (V + S × h) где V – объем ареометра без трубки; h – длина трубки; S – площадь поперечного сечения трубки
ρж –?

mg = r_ж × g (V + S × h)

при погружении ареометра в жидкость на х

F_A > mg F_A = r_ж × g (V + S (h + x))

F _p = F_A – mg = r_ж × g (V + S (h + x)) – r_ж × g (V + S × h) = ρ_ж × g × S × x

Эта сила является возвращающей силой и вызывает колебания около положения равновесия F _p = – k × x, отсюда k = ρ_ж × g × S

; , отсюда

(кг/м³)

Ответ: ρ_ж = 869 кг/м³

3. (6.8.2). Тяжелый шарик, подвешенный на нити длиной 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости (конический маятник). Найти период обращения шарика, если маятник находится в лифте, движущемся с ускорением 5 м/с², направленным вниз. Нить составляет с вертикальным направлением угол 60°, ускорение свободного падения 10 м/с². результат представьте в единицах СИ и округлите до целого числа.

 

 

Дано: l = 1 м а л = 5 м/с2 a = 60° g = 10 м/с2	Решение:
	; ; oх: F ц sina = ma ц; (1) oу: F ц cosa – mg = – ma л; F ц cosa = mg – ma л (2) Разделим уравнение (1) на (2)
Т –?

; R = l sina

(с)

Ответ: Т = 2 с

4. (6.8.10). Вдоль некоторой прямой распространяются колебания с периодом 0.25 с и скоростью 48 м/с. Спустя 10 с после возникновения колебаний в исходной точке на расстоянии 43 м от нее смещение оказалось равным 3 см. Определите в тот же момент времени смещение в точке, отстоящей на 45 м от источника колебаний. результат представьте в сантиметрах и округлите до целого числа.

Дано: Т = 0,25 с υ = 48 м/с t = 10 с l 1 = 43 м x 1 = 0,03 м l 2 = 45 м	Решение:
; . Разделим первое уравнение на второе: Выразим из полученного выражения х 2
x 2 –?

Ответ: x ₂ = 6 см

5. (6.8.14). Контур состоит из катушки индуктивностью 28 мкГн (1 мкГн = 10^–6 Гн), сопротивления 1 Ом и конденсатора емкостью 2222 пФ (1 пФ = 10^–12 Ф). Какую мощность будет потреблять контур, если в нем поддерживать незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение на конденсаторе 5 В? Результат представьте в милливаттах и округлите до целого числа.

Дано: L = 28×10–6 Гн R = 1 Ом C = 2222×10–12 Ф Um = 5 В	Решение:
; ; , отсюда , тогда
Р –?

(Вт) = 0,992 (мВт) » 1 (мВт)

Ответ: Р = 1 мВт

ВАРИАНТ №9

Оптика. световые кванты

Часть А

1. Светящуюся точку, находящуюся в среде с показателем преломления n ₁, рассматривают невооруженным глазом из среды с показателем преломления n ₂. Каково будет кажущееся расстояние точки до границы раздела сред, если светящаяся точка находится от этой границы на расстоянии h ₀, а глаз расположен так, что в него попадают лучи, падающие на границу раздела под небольшими углами? Рассмотреть два случая: 1) n ₁ > n ₂; 2) n ₁ < n ₂.

Решение:

D SAB: AB = SA tgα = h ₀ tgα;

D S ¢ AB: AB = S¢A tg β = H ₁ tg β;

h ₀ tgα = H ₁ tg β; ; ,

т.к. угол α берем маленьким, то

tgα » sinα. ; ; H ₁ < h ₀. ; H ₂ > h ₀.

Ответ: а) H ₁ < h ₀. б) H ₂ > h ₀.

2. Монохроматический луч падает нормально на боковую поверхность призмы, преломляющий угол которой равен 40°. Показатель преломления материала призмы для этого луча равен 1,5. Найдите угол отклонения луча, выходящего из призмы, от первоначального направления.

Дано: φ = 40° n = 1.5	Решение:
	α + φ = 90°; α + g = 90°; α = φ. Используем закон преломления: , отсюда sinβ = n sinα; β = arcsin(n sinα) = 74,5°; d = β – α = 74,5 – 40 = 34,5°.
d –?

Ответ: d = 34,5°

3. От предмета высотой 3 см с помощью линзы получили действительное изображение высотой 18 см. Когда предмет передвинули на 6 см, то получили мнимое изображение высотой 9 см. Определите фокусное расстояние линзы (в сантиметрах).

Дано: h = 3 см = 0,3 м H 1 = 18 см = 0,18 м D d = 6 см = 0,06 м H 2 = 9 см = 0,09 м	Решение: Коэффициент увеличения линзы: . Формула тонкой линзы: ; или ; f 1 = Г 1 d 1; (1); D d = d 1 – d 2 (2).
F –?

; ; ; f ₂ = Г ₂ d ₂; (3).

Решаем систему уравнений относительно d ₁ или d ₂. Определяем F = 12 см.

Ответ: F = 12 см

4. На пластинку, изготовленную из материала с показателем преломления 1.8, перпендикулярно к ее поверхности падает красный луч света с длиной волны 720 нм. Какой наименьшей толщины пластинку нужно взять, чтобы прошедший пластинку свет имел максимальную интенсивность?

Дано: n = 1,8 λ = 720 нм = 7,2×10–7 м	Решение: D = 2 dn, где d – толщина пластинки. Т.к. интенсивность максимальная, то используем условие максимума: D = kλ.
d min –?	Отсюда 2 dn = kλ, где k = 1, т.к. d должна быть

минимальной, то (м) = 0,2 (мкм)

Ответ: d _min = 0,2 мкм

5. Какой наибольший порядок спектра натрия (λ = 590 нм) можно наблюдать при помощи дифракционной решетки, имеющей 500 штрихов на 1 мм, если свет падает на решетку нормально?

Дано: λ = 590 нм = 5,9×10–7 м N = 500 l = 10-3 м	Решение: Условие max на дифракционной решетке: d sinφ = kλ, где k будет max, если max будет sinφ. А sinmaxφ = 1, тогда , где ; .
k max –?

k может принимать только целые значения, следовательно, k _max = 3.

Ответ: k _max = 3.

6. Период дифракционной решетки 4 мкм. Дифракционная картина наблюдается с помощью линзы с фокусным расстоянием F = 40 см. Определите длину световой волны падающего нормально на решетку света (в нм), если первый максимум получается на расстоянии 5 см от центрального.

Дано: d = 4×10–6 м l = 5×10–2 м F = 40×10–2 м k = 1	Решение: Запишем условие максимума для дифракционной решетки: d sinφ = k λ. Угол φ можно определить из геометрии: . Для малых углов (φ < 10°) tgφ » sinφ, тогда .
λ –?

Ответ: λ = 500 нм

7. Высота Солнца над горизонтом 46°. Чтобы отраженные от плоского зеркала лучи пошли вертикально вверх, угол падения солнечных лучей на зеркало должен быть равен:

1) 68° 2) 44° 3) 23° 4) 46° 5) 22°

Дано: φ = 46°	Решение: Угол падения равен углу отражения α = α¢. Из рисунка видно, что α + α¢ + φ = 90° или 2α + φ = 90°, тогда .
α –?

Ответ: [5]

8. Посередине между двумя плоскими зеркалами, параллельными друг другу, помещен точечный источник света. Если источник начнет двигаться в направлении, перпендикулярном плоскостям зеркал, со скоростью 2 м/с, то первые мнимые изображения источника в зеркалах будут двигаться относительно друг друга со скоростью:

1) 0 м/с 2) 1 м/с 3) 2 м/с 4) 4 м/с 5) 8 м/с

Решение:

; .

Ответ: [1]

9. Предельный угол полного внутреннего отражения на границе алмаза и жидкого азота равен 30°. Абсолютный показатель преломления алмаза равен 2,4. Во сколько раз скорость света в вакууме больше скорости света в жидком азоте?

1) в 1,2 раза 2) в 2 раза 3) в 2,1 раза 4) в 2,4 раза 5) в 4,8 раза

 

Дано: αпр = 30° n = 2.4 β = 90°	Решение:
	Закон преломления: или для полного внутреннего отражения: ; n 1 = 2,4;
с /υ2 –?

n ₂ = n ₁sinα_пр = 1,2. А абсолютный показатель среды , отсюда .

Ответ: [1]

10. Две линзы – рассеивающая с фокусным расстоянием – 4 см и собирающая с фокусным расстоянием 9 см расположены так, что их главные оптические оси совпадают. На каком расстоянии друг от друга следует поместить линзы, чтобы пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя через обе линзы, остался бы параллельным?

1) 4 см 2) 5 см 3) 9 см 4) 13 см 5) На любом расстоянии лучи не будут параллельными.

Решение:

d = F ₂ – F ₁ = 5 (см).

Ответ: [2]

Часть Б

1. (7.8.1). Пучок параллельных световых лучей падает из воздуха на толстую стеклянную пластину под углом 60° и, преломляясь, переходит в стекло. Ширина пучка в воздухе 10 см. Определите ширину пучка в стекле. Показатель преломления стекла 1,51. Результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

 

 

Дано: α = 60° а = 10 см n ст = 1,51	Решение:
	;
b –?

; ; ; (м)

Ответ: b = 0,16 м

2. (7.8.3). На дне стеклянной ванны лежит зеркало, поверх которого налит слой воды высотой 20 см. В воздухе на высоте 30 см над поверхностью воды висит лампа. На каком расстоянии от поверхности воды смотрящий в воду наблюдатель будет видеть изображение лампы в зеркале? Показатель преломления воды 1,33. результат представьте в единицах СИ и округлите до десятых.

 

Дано: h 1 = 20 см h 2 = 30 см n = 1,33	Решение:
	S ` – мнимое изображение; ; ; α1 = α2 (1); (2); (3) a, b – малы ; ;
h –?

; ;

(м)

Ответ: h = 0,6 м

3. (7.8.13). Два когерентных источника S ₁ и S ₂ испускают монохроматический свет с длиной волны 600 нм (1 нм = 10^–9 м). Определите, на каком расстоянии от точки О будет первый максимум освещенности, если ОС = 4 м и S ₁ S ₂ = 1 мм. Принять L ₁ @ L ₂ @ ОС; ОС >> S ₁ S ₂. результат представьте в миллиметрах и округлите до десятых.

 

Дано: l = 600 нм OC = 4 м S 1 S 2 = 1 мм L 1 = L 2 = ОС	Решение:
	D = k l – условие максимума D = L 2 – L 1;
у 1 –?

;

2(ОС)D = 2 у_кd, отсюда ; ; l = ОС;

(м) = 2,4 (мм)

Ответ: у ₁ = 2,4 мм

4. (7.8.8). Объектив проекционного аппарата с фокусным расстоянием 0,15 м расположен на расстоянии 4,65 м от экрана. Определите площадь изображения на экране, если площадь диапозитива равна 4,32 см². результат представьте в единицах СИ и округлите до сотых.

Дано: F = 0,15 м f = 4,65 м S = 4,32 см2	Решение:
; ; S ` = Г 2 S S – площадка диапозитива ; ;
S ` –?

S ` = 30² × 4,32 = 3888 (см²) » 0,39 (м²)

Ответ: S ` = 0,39 м²

5. (7.8.28). Найдите коэффициент увеличения изображения предмета АВ, даваемого тонкой рассеивающей линзой с фокусным расстоянием F. Результат округлите до сотых.

 

Дано: АВ F	Решение:
; d 1 = 2 F;
Г –?

; d ₂ = F;

;

l = d ₁ – d ₂ = F; ;

Ответ: Г = 0,17

ВАРИАНТ №10