Числовые характеристики Дискретной случайной величины (ДСВ)

Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения.

Числовые характеристики Дискретной случайной величины (ДСВ)

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется число, равное сумме произведений всех значений случайной величины на вероятности этих значений.

Если случайная величина Х принимает значения x ₁, x ₂,..., x _n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n, то математическое ожидание находится по формуле:

М(x) = x _ip_i = x ₁p₁+ x ₂p₂ +... + x _np_n (1)

Математическое ожидание иначе называют средним значением случайной величины, так как оно указывает некоторое среднее число, около которого группируются все значения случайной величины.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(x) = M(x – M(x))² (2)

Пусть случайная величина Х принимает значения x ₁, x ₂,..., x _n с вероятностями соответственно p₁, p₂,... p_n, тогда квадрат отклонения случайной величины Х от её математического ожидания есть случайная величина, принимающая значения (Х₁ – М(Х)), (Х₂ – М(Х)), …, (Хn – М(Х) с вероятностями Р₁, Р₂, …, Рn. Поэтому математическое ожидание так распределенной случайной величины, то есть дисперсию Х, можно вычислять по формуле: D(X) = (x _i – M(x))²p_i

D(x) = M(x ²) – (M(x))²

Дисперсия случайной величины характеризует степень разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Средним квадратичным отклонением дискретной случайной величины называется квадратный корень из дисперсии:

(x) = D(x)

ПРИМЕРЫЗАДАЧ

Пример 1. Рассмотрим еще одну игру. Мишень разделена на 8 равных секторов и установлена так, что может вращаться вокруг оси, проходящей через точку О. При достаточно большой угловой скорости вращения стрелок не в состоянии различать цифры, выписанные по одной на секторах. Он вынужден стрелять наугад.

При попадании в сектор 1 стрелок выигрывает 10 р., в сектор 2 — 20 р., в сектор 3 — 30 р. и т. д., в сектор 8 — 80р. Стоит ли ему участвовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 50р.?

Поскольку мишень вращается, то способности стрелка здесь не имеют никакого значения: попадание — чистая случайность. Случайная величина выражает возможные выигрыши. Она может принимать значения 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80.

Так как все секторы одинаковые, то каждое из этих значений случайная величина принимает с одинаковой вероятностью 1/8.

Значит, М=10·1/8+20·1/8+30·1/8+40·1/8+50·1/8+60·1/8+70·1/8+80·1/8=45

Итак, математическое ожидание выигрыша 45 р., а стоимость выстрела 50р. Стрелять много раз явно невыгодно. На основании подобных расчетов организуются разнообразные азартные игры, приводящие игроков к разорению.

Пример 2. Найти числовые характеристики случайной величины Х, имеющей закон распределения, представленный в таблице 1.

Таблица 1. Закон распределения случайной величины Х.

Решение:

1. Найдём математическое ожидание.

По формуле (1): M(x) = –2 ^. 0.3 + (–1) ^. 0.1 + 1 ^. 0.2 + 2 ^. 0.1 + 3 ^. 0.3 = – 0.6 – 0.1 + 0.2 + 0.2 + 0.9 = 0.6

2. Найдём дисперсию.

· Воспользуемся формулой (2): случайная величина (Х – М(Х)) имеет распределение, представленное в таблице 2

Таблица 2. Закон распределения случайной величины (Х – М(Х))

Тогда:

D(X) = M(x – M(x))² = (–2.6)^{2 .} 0.3 + (–1.6)^{2 .} 0.1 + 0.4^{2 .} 0.2 + 1.4^{2 .} 0.1 + 2.4^{2 .} 0.3 = 2.028 + 0.256 + 0.032 + 0.196 + 1.728 = 4.24

· Воспользуемся формулой (4):

случайная величина x ² имеет распределение, представленное в таблице 3

Таблица 3. Закон распределения случайной величины х²

Тогда M(x ²) = 1 ^. 0.3 + 4 ^. 0.4 + 9 ^. 0.3 = 0.3 + 1.6 + 2.7 = 4.6

· По формуле (4): D(x) = M(x ²) – (M(x))² = 4.6 – 0.6² = 4.6 – 0.36 = 4.24

3. Найдём среднее квадратичное отклонение по формуле (5) (x) = D(x) = 4.24 ~2.059