включены последовательно, а по постоянному току они могут быть включены последовательно или параллельно. Схема каскодного усилителя приведена на рис.8.12,а, а его схема замещения для малого сигнала изображена на рис.8.12, б.
На транзисторе VT1 выполнена схема усилителя с общим эмиттером. Коллекторной нагрузкой транзистора VT1 является транзистор VT2, включенный по схеме с общей базой (т. е. в режиме повторителя тока). Нагрузкой транзистора VT2 является сопротивление Rк. Цепь, состоящая из сопротивлений R1, R2, R3, используется для задания режима транзисторов по постоянному току. Входной сигнал поступает на базу транзистора VT1 через разделительный конденсатор С1. С помощью конденсатора С2 база транзистора VT2 соединена по переменному току с общим проводом (землей). Сопротивление Rэ является элементом цепи отрицательной обратной связи. Выходное напряжение снимается с коллекторной нагрузки Rк — транзистора VT2.
Для расчета коэффициента усиления каскодного усилителя воспользуемся схемой замещения, приведенной на рис.8.12,б. Ток эмиттера входного каскада на транзисторе VT1 равен
, (8.26)
где iк1=iб1B1; B1 - коэффициент передачи по току транзистора VT1.
Рис.8.12. Каскодный усилитель на биполярных транзисторах (а) и его
схема замещения (б)
Как следует из схемы, ток коллектора транзистора VT1 равен току эмиттера транзистора VT2, поэтому
. (8.27)
Подставив значение iк1 (8.27) в формулу (8.26), получим
. (8.28)
Выходное напряжение каскодного усилителя найдем по формуле
, (8.29)
откуда получим значение коэффициента усиления по напряжению
. (8.30)
При выполнении условия В1 ≈ В2 >>1 из формулы (8.30) найдем
. (8.31)
Таким образом, усиление каскодного усилителя такое же, как усиление однокаскадного усилителя по схеме с общим эмиттером (см. уравнение (8.21)). Тем не менее, каскодный усилитель имеет ряд преимуществ по сравнению с однокаскадным усилителем:
- первый каскад работает в режиме короткого замыкания коллектора через эмиттерный переход VT1 и емкость С2 на общий провод (землю);
- в связи с этим входное сопротивление каскодного усилителя такое же, как в эмиттерном повторителе: Rвх=Rэ(1+B1);
- кроме этого, нейтрализуется обратная связь через проходную емкость Скб2;
- выходное сопротивление каскода большое (как у повторителя тока) и не зависит от параметров входной цепи.
Перечисленные достоинства каскодного усилителя обусловили его широкое применение для усиления сигналов высокой частоты.
Рис.8.13. Каскодный усилитель с
параллельным питанием
Для того чтобы не увеличивать напряжение питания каскодного усилителя по сравнению с однокаскадным, обычно используют параллельное включение транзисторов VT1 и VT2 по постоянному току, как показано на рис.8.13.
Дифференциальные усилители. Дифференциальным усилителем называют усилитель, предназначенный для усиления разности двух входных сигналов. Дифференциальный усилитель будет идеальным, если выходной сигнал зависит только от разности входных сигналов и не зависит от их уровня. Базовая схема дифференциального усилителя изображена на рис.8.14,а. Она состоит из двух транзисто-ров VT1 и VT2, в коллекторных цепях которых включены сопротивления Rк. Выходной сигнал можно снимать с одного из коллекторов транзисторов VT1 или VT2 или между коллекторами.
На входах дифференциального усилителя могут действовать два вида сигналов: синфазные и противофазные (дифференциальные). Синфазные сигналы подаются на оба входа усилителя одновременно, а дифференциальные сигналы прикладываются между входами. Если на оба входа действуют одновременно оба вида сигналов, то
, (8.32)
откуда получаем, что
, 
. (8.33)
Рис.8.14. Базовая схема дифференциального усилителя (а), схема замещения для дифференциального сигнала (б), схема замещения для синфазного сиг-
нала (в) и дифференциальный усилитель с несимметричным выходом (г)
Схема замещения дифференциального усилителя для дифференциального сигнала приведена на рис.8.14,б. Из уравнения (8.33) видно, что к базам транзисторов VT1 и VT2 сигналы приложены в противофазе и, следовательно, токи транзисторов в сопротивлении R1 взаимно компенсируются. Поэтому в схеме замещения, приведенной на рис.8.14, б, оставлены только сопротивления Rэ. Анализ этой схемы замещения позволяет определить коэффициент усиления дифферен-циального усилителя для дифференциального сигнала:
, (8.34)
где
; 
. (8.35)
Подставив значения (8.35) в формулу (8.34), найдем
,
откуда определим коэффициент усиления для дифференциального сигнала:
. (8.36)
Формула (8.36) показывает, что усиление дифференциального сигнала такое же, как в однокаскадном усилителе (8.22).
Схема замещения дифференциального усилителя для синфазного сигнала приведена на рис.8.14,в. Из этой схемы видно, что к базам транзисторов VT1 и VT2 приложен один и тот же сигнал uсф. Для синфазного сигнала схема дифференциального усилителя распадается на два изолированных каскада, в эмиттерах которых включены сопро-
тивления Rэ+2R1. Если схема полностью симметричная, то
. (8.37)
В результате получаем, что uвых.сф= uвых1- uвых1 =0, т. е. синфазный сигнал на выходе отсутствует.
Если выходной сигнал снимается только с одного выхода, например, с транзистора VT2, то выходное напряжение для синфазного сигнала определяется формулой (8.37).
Для оценки качества дифференциального усилителя пользуются понятием коэффициента ослабления синфазного сигнала Косс, который определяют отношением коэффициентов усиления дифференциального и синфазного сигналов:
. (8.38)
Для полностью симметричного дифференциального усилителя с симметричным входом и симметричным выходом коэффициент усиления синфазного сигнала равен нулю, поэтому Косс= 
. Если дифференциальный усилитель имеет несимметричный выход, как показано на рис.8.14,в, то в соответствии с формулами (8.36) и (8.37) найдем значение Косс:
. (8.39)
Здесь учтено, что для схемы с несимметричным выходом коэффициент усиления дифференциального сигнала равен Ku.диф /2.
Рис.8.15. Схема дифференциального усилителя с транзисторным генератором
тока (а) и дифференциальный усилитель с несимметричным входом (б)
В справочной литературе значение Косс обычно приводится в децибелах и рассчитывается по формуле
. (8.40)
Для реальных дифференциальных усилителей Косс =40...160дБ.
Для увеличения Косс целесообразно вместо сопротивления R1 использовать источник тока. Схема ДУ с транзисторным источником тока приведена на рис.8.15,а. Дифференциальный усилитель может работать и с несимметричными входными сигналами, как показано на рис.8.15,б.
Контрольные вопросы
1. Что такое электронный усилитель, его обобщённая схема включения, основные характеристики?
2. Повторители напряжения – назначение, схемная реализация на биполярных, полевых транзисторах, на операционных усилителях. Основные соотношения, применение в технике.
3. Повторители тока – назначение, схемная реализация на биполярных, полевых транзисторах. Основные соотношения, применение в технике.
4. Однокаскадные усилители напряжения – схемное построение, основные соотношения, фазовые соотношения.
5. Двухкаскадные усилители – их разнообразие и практическая реализация. Каскодный усилитель – схемное построение, основные соотношения, преимущества.
6. Дифференциальные усилители – назначение, схемная реализация, основные соотношения, применение в технике.
Лекция 9. Фильтры
Фильтр - это частотно-избирательное устройство, которое пропускает сигналы определенных частот и задерживает или ослабляет сигналы других частот [1,2,6,9,10,11]. Фильтры могут быть классифицированы по ряду признаков:
- по виду амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) они разделяются на: фильтры нижних частот (ФНЧ); фильтры верхних частот (ФВЧ); полосовые фильтры (ПФ); режекторные (заграждающие) фильтры (РЖ); резонансные фильтры (РЗ). В отдельную группу могут быть выделены фазовые фильтры (ФФ);
- в зависимости от полиномов, используемых при аппроксимации передаточной функции, различают фильтры: критического затухания, Бесселя, Баттерворта, Чебышева;
- по элементной базе они разделяются на: пассивные и активные. Активные фильтры включают в схему RLC – фильтра активные элементы, в качестве которых используются операционные усилители.
Основные характеристики и параметры фильтров. К характеристикам фильтров относятся: передаточная функция, амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная характеристика (ФЧХ), частота среза ωср (fср), постоянная времени τ, полоса пропускания (подавления) Δω (Δf), резонансная частота, добротность.
Передаточная функция это отношение величины выходного напряжения к величине входного напряжения фильтра
. (9.1)
В общем случае фильтр можно рассматривать как четырехполюсник с передаточной функцией
, (9.2)
где U1(p) и U2(p) – входное и выходное напряжение четырехполюсника в операторной форме; a и b – вещественные постоянные величины; m, n = 1,2,3, …; n – определяет порядок фильтра.
Для установившейся частоты р=jω, и передаточную функцию можно привести к виду
. (9.3)
Модуль передаточной функции (9.3) называется амплитудно-частотной характеристикой
. (9.4)
Фазо-частотная характеристика также может быть найдена из (9.3) и представлена в виде
. (9.5)
Диапазон Δω = ω2 – ω1 или полосы частот, в которых проходят сигналы, называются полосами пропускания. В полосе пропускания значение коэффициента передачи фильтра относительно велико и в идеальном случае постоянно. Для полосового фильтра частоты ω1 и ω2 определяются при спаде коэффициента передачи на 3 дБ (или по абсолютной величине в 
раза).
Диапазон частот Δω = ω2 – ω1, в которых сигналы подавляются, образуют полосу задержания. В ней коэффициент передачи фильтра относительно мал и в идеальном случае равен нулю. Для заграждающего фильтра частоты ω1 и ω2 определяются при спаде коэффициента передачи на 3 дБ (или по абсолютной величине в раза).
Частота среза ωср (fср) – частота, на которой наблюдается спад коэффициента передачи на 3 дБ по сравнению с коэффициентом передачи на нулевой (для ФНЧ) или бесконечной (для ФВЧ) частоте.
Резонансная частота fр – частота, на которой коэффициент передачи фильтра имеет максимальное значение (для полосового фильтра) или минимальное значение (для заграждающего фильтра).
Добротность Q - добротность полосового фильтра определяется как отношение резонансной частоты к полосе пропускания
. (9.6)
Фильтры нижних частот
Фильтр нижних частот является схемой, которая без изменений передает сигналы нижних частот, а на высоких частотах обеспечивает затухание сигналов и запаздывание их по фазе относительно входных сигналов.
Пассивные фильтры нижних частот первого порядка
Рис.9.1. Пассивный ФНЧ первого порядка
На рис.9.1. изображена схема простого RС -фильтра нижних частот первого порядка. Коэффициент передачи в комплексном виде может быть выражен формулой:
. (9.7)
Отсюда получим формулы для АЧХ и ФЧХ:
. (9.8)
Положив 
, получим выражение для частоты среза ωср:
. (9.9)
| К | = 1 = 0 дБ на нижних частотах f << fср.
На высоких частотах f >>fср согласно формуле (9.8) |К| ≈ 1/ (ωRC), т.е. коэффициент передачи обратно пропорционален частоте. При увеличении частоты в 10 раз коэффициент усиления уменьшается в 10 раз, т. е. он уменьшается на 20 дБ на декаду или на 6 дБ на октаву. 
при f = fср.
Пример расчета пассивного ФНЧ первого порядка.
Произведем расчет коэффициента передачи по формуле 9.8. Для этого примем, что R = 1 кОм и С = 1 мкФ. Будем принимать частоту от 0,001 Гц до 100 кГц с шагом 10. Получаем следующие расчеты коэффициента передачи фильтра:
Рис.9.2. Зависимость коэффициента передачи фильтра ФНЧ от частоты
Построим график зависимости коэффициента передачи от частоты (рис.9.2).
Таким образом, видим, что ФНЧ обеспечивает нормальное прохождение низких частот и задерживает верхние частоты.
Для более быстрого уменьшения коэффициента передачи можно включить n фильтров нижних частот последовательно. При последовательном соединении нескольких фильтров нижних частот частота среза приближенно определяется как
. (9.10)
Для случая n фильтров с равными частотами среза
. (9.11)
При частоте входного сигнала fвх>> fср для схемы (рис.9.1) получим
. (9.12)
Из (9.12) видно, что ФНЧ может выступать как интегрирующее звено.
Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую, выходное напряжение можно представить в виде
, (9.13)
где 
- среднее значение.
Фильтр нижних частот может выступать в качестве детектора средних значений.
Для реализации общего подхода к описанию фильтров необходимо нормировать комплексную переменную р:
. (9.14)
Для фильтра рис.9.1 получим Р = рRC и
. (9.15)
Используя передаточную функцию для оценки амплитуды выходного сигнала от частоты, получим
. (9.16)
Передаточная функция ФНЧ в общем виде может быть записана в виде 
, (9.17)
где с1, с2,…, сn– положительные действительные коэффициенты.
Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Р. Для реализации фильтра необходимо разложить полином знаменателя на множители. Если среди корней полинома есть комплексные, в этом случае следует записать полином в виде произведения сомножителей второго порядка
, (9.18)
где аi и bi – положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков полинома коэффициент b1 равен нулю.
Активные фильтры нижних частот первого порядка
Простой фильтр, изображенный на рис.9.1, обладает недостатком: свойства фильтра зависят от нагрузки. Для устранения этого недостатка фильтр необходимо дополнить преобразователем полного
Рис.9.3. Активный ФНЧ первого порядка с
преобразователем полного сопротивления
сопротивления. Схема фильтра с преобразователем полного сопротивления показана на рис.9.3. Коэффициент передачи постоянного сигнала может быть задан выбором значений резисторов R2 и R3:
. (9.19)
Для упрощения схемы ФНЧ можно использовать RC-цепь для обратной связи операционного усилителя. Подобный фильтр показан на рис.9.4.
Рис.9.4. Активный ФНЧ первого порядка
Передаточная функция фильтра (рис.9.4) имеет вид
. (9.20)
Для расчета фильтра необходимо задать частоту среза fср (ωср), коэффициент передачи постоянного сигнала К0 (для схемы на рис.9.4 он должен быть задан со знаком минус) и емкость конденсатора С1. Приравняв коэффициенты полученной передаточной функции коэффициентам выражения 9.18 для фильтра первого порядка, получим
. (9.21)
Пассивный фильтр нижних частот второго порядка
На основании выражения (9.18) запишем в общем виде передаточную функцию ФНЧ второго порядка
. (9.22)
Такая передаточная функция не может быть реализована с помощью пассивных RC-цепей. Подобный фильтр может быть реализован с применением индуктивностей. На рис.9.5 показана схема пассивного ФНЧ второго порядка.
Рис.9.5. Пассивный ФНЧ второго порядка
Передаточная функция фильтра имеет вид
. (9.23)
Рассчитать фильтр можно, воспользовавшись формулами
. (9.24)
Например, для ФНЧ второго порядка типа Баттерворта с коэффициентами а1 = 1,414 и b1 = 1,000, задав частоту среза fср = 10 Гц и емкость С = 10мкФ, из (9.24) получим R = 2,25 кОм и L = 25,3 Гн.
Подобные фильтры неудобны для реализации из-за слишком большой индуктивности. Заданную передаточную функцию можно реализовать с помощью операционного усилителя с соответствующими RC – цепями, что позволяет исключить индуктивности.
Активные ФНЧ второго порядка
Примером активного ФНЧ второго порядка является фильтр со сложной отрицательной обратной связью, схема которого показана на рис. 9.6. Передаточная функция данного фильтра имеет вид
. (9.25)
Рис.9.6. Активный ФНЧ второго порядка
Для расчета фильтра можно записать 
. (9.26) При расчете схемы лучше задавать значения емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений:
;
. (9.27)
Для того, чтобы значение сопротивления R2 было действительным, должно выполняться условие
. (9.28)
Фильтры с отрицательной ОС имеют с высокую добротность.
Активный ФНЧ второго порядка может быть построен на основе ОУ с омической отрицательной обратной связью и на основе ОУ с положительной обратной связью. Примеры подобных фильтров показаны на рис.9.7 и рис.9.8.
| Рис.9.7 Активный ФНЧ второго порядка с омической отрицатель- ной ОС | Рис.9.8 Активный ФНЧ второго порядка с положительной ОС |
Фильтры верхних частот
Используя логарифмическое представление, можно перейти от нижних частот к верхним, зеркально отобразив АЧХ коэффициента передачи относительно частоты среза, т.е. заменив Ω на 1/Ω или P на 1/P. При этом частота среза остается неизменной, а К0 переходит К∞. При этом получим
. (9.29)
Пассивные ФВЧ первого порядка
Рис.9.9. Пассивный ФВЧ первого порядка
Схема простого пассивного ФВЧ первого порядка приведена на рис. 9.9. ФВЧ передает без изменения сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Коэффициент передачи в комплексной форме может быть записан в виде
. (9.30)
Отсюда находим выражения для АЧХ, ФЧХ и частоты среза
. (9.31)
При f = fср, как и для фильтра нижних частот,
.
Если приложено входное напряжение с частотой f<<fср, то 
, и из уравнения
(9.32)
получим
. (9.33)
Таким образом, входные напряжения низкой частоты дифференцируются, т.е. ФВЧ может выступать как дифференцирующий преобразователь.
При последовательном соединении нескольких ФВЧ результирующая частота среза
. (9.34)
Если все фильтры имеют равные частоты среза, то
. (9.35)
Пример расчета пассивного ФВЧ первого порядка.
Произведем расчет коэффициента передачи по формуле 9.31. Для этого примем, что R = 1 кОм и С = 10 мкФ. Будем принимать частоту от 0,001 Гц до 100 кГц с шагом 10. Получаем следующие расчеты коэффициента передачи фильтра:
Построим график зависимости коэффициента передачи от частоты (рис.9.10):
Рис.9.10. Зависимость коэффициента передачи фильтра от частоты
Таким образом, видим, что ФВЧ обеспечивает нормальное прохождение высоких частот и задерживает низкие частоты.
Активные ФВЧ первого порядка
Пример схемы активного ФВЧ первого порядка представлен на рис.9.11.
Рис.9.11. Активный ФВЧ первого порядка
Передаточная функция данного фильтра имеет вид
. (9.36)
Используя выражение (9.29), получим
. (9.37)
Пассивные и активные ФВЧ второго порядка
Передаточная функция ФВЧ второго порядка имеет вид
. (9.38)
Для реализации пассивного ФВЧ второго порядка достаточно в схеме рис.9.5 поменять местами конденсатор и RL-цепь.
Примером реализации активного ФВЧ второго порядка может быть ФВЧ, показанный на рис.9.12, который получается заменой в схеме ФНЧ на рис.9.7 емкостей С1 и С2 на сопротивления, а сопротивления R1 и R2 на емкости.