В основе любого статистического исследования лежит массив информации, который
называют выборкой данных. Покажем это на примере. Пусть в классе, где учится 20
учеников, проводился тест по математике, содержавший 25 вопросов. В результате учащиеся показали следующие результаты:
| № ученика | ||||||||||||||||||||
| Кол-во правильных ответов |
Ряд чисел, приведенный во второй строке таблицы (12, 19, 19, 14, 17, 16, 18, 20, 15,
25, 13, 20, 25, 16, 17, 12, 24, 13, 21, 13), будет выборкой. Также ее могут называть рядом
данных или выборочной совокупностью.
Выборка – это набор данных, на основе которых проводится статистический анализ.
В примере с классом выборка состоит из 20 чисел. Эту величину (количество чисел в
ряду) называют объемом выборки. Каждое отдельное число в ряду именуют вариантой
выборки.
В примере со школьным классом в выборку попали все его ученики. Это позволяет
точно определить, насколько хорошо учащиеся написали математический тест. Однако
иногда необходимо проанализировать очень большие группы населения, состоящие из
десятков и даже сотен миллионов человек. Например, необходимо узнать, какая часть
населения страны курит. Опросить каждого жителя государства невозможно, поэтому в ходе
исследования опрашивают лишь его малую часть. В этом случае статистики выделяют понятие генеральная совокупность.
Генеральная совокупность- это множество всех объектов, относительно которых необходимо сделать выводы в ходе статистического исследования.
Так, если с помощью опроса 10 тысяч человек ученые делают выводы о
распространении курения в России, то все российское население будет составлять
генеральную совокупность исследования, а опрошенные 10 тысяч людей вместе образуют
выборку.
При проведении статистического исследования после сбора и группировки данных переходят к их анализу, используя для этого различные обобщающие показатели. Простейшими из них являются среднее арифметическое, мода, медиана, размах.
Статистические характеристики: среднее арифметическое, размах, мода и медиана.
Пример 1. Пусть ученик получил в течение первой учебной четверти следующие отметки по алгебре:
5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Среднее арифметическое ряда - это отношение суммы всех элементов(чисел) ряда к их количеству.
Найдем средний балл, то есть среднее арифметическое всех членов ряда:4,4
Заметьте, что среднее значение ряда может не совпадать ни с одним из его элементов. В примере средний балл получился 4,4. хотя все оценки выражались целыми числами.
С помощью таблицы частот можно быстрее посчитать среднее арифметическое
выборки. Для этого каждую варианту надо умножить на ее частоту, после чего сложить
полученные результаты и поделить их на объем выборки:
| Кол-во баллов | ||||||
| Кол-во учеников | ||||||
Кол-во учеников 2+2+4+3+4+5=20, кол-во баллов 14*2+16*2+15*4+20*3+18*4+12*5=312,
средний балл класса равен 312/20=15,6.
Возьмем снова набор оценок ученика 5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Модой числового ряда называют число, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что оно в этом ряду самое модное, для нашего примера мода равна 5.
В отличие от среднего арифметического.которое можно вычислить для любого числового ряда, моды у ряда может вообще не быть. Например, пусть ученик получил по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5.
Каждая отметка встречается а этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще. Значит, у этого ряда нет моды.
Еще одной важной характеристикой числового ряда является его медиана - число ряда, которое делит его ровно пополам. Более точно, медиана – это центральное число упорядоченного набора элементов. Множество называется упорядоченным (ранжированным), если каждый последующий его элемент не меньше предыдущего.
Чтобы найти медиану числового ряда нужно его сначала упорядочить-составить ранжированный ряд. Если ряд содержит нечетное число членов, то нужно взять число, которое находится ровно посередине. В данном упорядоченном ряду 11 чисел и центральное число 5 –медиана. Заметим, упорядоченное –расположенное в определенном порядке, по возрастанию.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6.
Если ряд содержит четное число элементов, то нужно взять два средних числа и найти их полу сумму: 1,2,2,3,4,5,5,6. Т.е. (3+4)/2=3,5-медиана.
Медиана используется, например, при расчете средней зарплаты, где среднее арифметическое не вполне адекватно отражает ситуацию. Это происходит из-за наличия в выборке чисел, очень сильно отличающихся от среднего. Так, из-за огромных зарплат некоторых начальников большинство рядовых сотрудников компаний обнаруживают,
что их зарплата ниже средней. В таких случаях целесообразно использовать такую
характеристику, как медиану ряда.
Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки. Размах – разность между наименьшим и наибольшим значением выборки.
Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств.
Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по
круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал
результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:
(8+9+9+8+9):5 = 43:5 = 8,6;
(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.
Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый
спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен
9 – 8 = 1,
в то время как размах выборки второго спортсмена равен
10 - 6=4.
Размах выборки может быть очень важен в метеорологии. Например, в Алма-Ате и
Амстердаме средняя температура в течение года почти одинакова и составляет 10°С.
Однако в Алма-Ате в январе и феврале иногда фиксируются температуры ниже -30°С, в то
время как в Амстердаме за всю историю наблюдений она никогда не падала ниже -20°С.
Итак, мы рассмотрели основные характеристики для описания поведения числового ряда:
- среднее арифметическое;
- мода;
- медиана;
- размах.
1. Среднее арифметическое ряда чисел - это частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
2. Размах ряда чисел - это разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел.
3. Модой ряда чисел называется число, наиболее часто встречающееся в данном ряду.
4. Медианой ряда, состоящего из нечётного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить.
Медианой ряда, состоящего из чётного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда
Самостоятельная работа
Пример
Рост учащихся нашего класса
157,165,165,168,165,161,165,160,162,169,171, 170,170,175,173,170,177,182,186,182,160,173, 165,162,174,177.
1) составить ранжированный(упорядоченный) ряд;
2) определить средний рост, моду ряда, медиану ряда, размах.
Проверка
Ранжированный ряд
157,160,160,161,162,162,165,165, 165,165,165,168,169,170,170,170, 171,173,173,174,175,177,177,182, 186.
Средний рост 168,96 см
Мода ряда (наиболее часто встречающийся рост):165 см
Медиана ряда: 169 см
(у 12 учащихся рост меньше 169см, у 12 учащихся рост больше169см)
Размах 186-157=29.
Итоги урока.
Подводя итоги, хотелось бы сказать, что статистическое наблюдение - интересная и занимательная область математики. Статистические наблюдения используются практически везде, где только можно обусловить их применение. Вместе с тем, несмотря на обширную область применения, статистические наблюдения являются довольно-таки сложным предметом и ошибки нередки. Однако, в целом наблюдения как предмет для рассмотрения представляют собой большой интерес.
Домашнее задание.
Задача 1. По результатам летней экзаменационной сессии одного курса студентов получено данное распределение оценок по баллам:
| Балл оценки знаний студентов (xi) | Итого | ||||
| Количество оценок, полученных студентами (fi) | |||||
| xi * fi -кол-во баллов |
Найдите: средний балл оценки знаний студентов (всего курса).
Модальный балл (моду) успеваемости и медианное значение балла.
Практическое задание 2.
Зная свои оценки за первое полугодие по всем предметам, составить ранжированный (упорядоченный) ряд и определить среднее арифметическое, моду ряда, медиану ряда и размах.