Задание №1
Гладкая проволока изогнута в виде параболы 
, где 
- постоянный коэффициент, и расположена в горизонтальной плоскости (рис.).
Если по проволоке с постоянной по величине скоростью 
скользит бусинка массой 
, то
1. приращения координат бусинки 
и 
для малого промежутка времени 
после прохождения вершины параболы определяются выражениями _____;
2. проекция ускорения бусинки на ось 
равна ______;
3. сила, действующая на бусинку со стороны проволоки в вершине параболы равна …
Решение
Когда бусинка проходит вершину параболы, ее скорость направлена точно по горизонтальной оси 
(см. рис.).
Для очень малого промежутка времени 
после прохождения вершины параболы смещение вдоль оси можно считать равным 
.
Тогда для смещения вдоль оси получаем 
. Отсюда следует, что ускорение бусинки вдоль оси равно 
, а сила, действующая на нее со стороны проволоки вдоль , равна 
.
Здесь учтено, что ускорение бусинки вдоль оси в вершине параболы равно 
.
Ответ
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №2
На диаграмме 
процесс, проводимый с системой, представлен отрезком прямой 
, где 
— энтропия системы, 
и 
— константы. Если в ходе обратимого процесса температура 
увеличивается от 
до 
, то
1. малое количество теплоты 
, полученное системой, в указанном процессе равно ______;
2. количество теплоты 
, полученное системой в этом процессе, определяется выражением: …
Решение
Передадим системе очень малое количество теплоты , приращение энтропии обозначим 
. Тогда согласно определению энтропии 
это количество теплоты равно 
. Следовательно, количество теплоты , полученное системой в этом процессе, определяется выражением: 
Ответ
1. 
; 2. 
Задание №3
Пластмассовый шарик радиусом 
с равномерно распределенным зарядом подвешен на диэлектрической нити (см. рис.).
Если нижняя точка шарика отстоит от поверхности горизонтальной бесконечно протяженной металлической не заряженной плоскости на расстоянии 
, то
1. напряженность электрического поля 
, созданного зарядом в точке 
, равна ______;
2. напряженность результирующего электрического поля 
в точке равна ______;
3) плотность индуцированных поверхностных зарядов 
в области под шариком равна ….
Решение
Если близко к поверхности металлической плоскости поднести заряженный пластмассовый шар, то на поверхности проводника собираются заряды противоположного знака (индуцированные поверхностные заряды), в то время как одноименные заряды удаляются от нее. Так будет продолжаться до тех пор, пока результирующее электрическое поле в проводнике не исчезнет.
Используем метод зеркальных изображений. В точке электрическое поле , созданное зарядом , равно 
. Электрическое поле, которое создается индуцированными поверхностными зарядами, эквивалентно полю зеркально отображенного заряда 
, расположенного в глубине под поверхностью на расстоянии 
(см. рис.).
Электрическое поле заряда-изображения имеет ту же величину и направление, что и поле заряда так что, результирующее электрическое поле будет равно 
. Согласно теореме Гаусса, поверхностная плотность заряда в точке определяется формулой 
.
Ответ
1. 
; 2. 
; 3. 
Задание №4
Один конец легкой слабой пружины в нерастянутом состоянии шарнирно закреплен в точке 
, ко второму концу прикреплен шарик массой (см. рис.).
Если шарик с пружиной привести в горизонтальное положение и отпустить, то
1. уравнения движения груза в точке 
по горизонтали и по вертикали, когда 
, имеют вид ______;
2. объединение начальных условий дает решение уравнений гармонических колебаний относительно начала координат в 
направлении и относительно положения равновесия 
в 
направлении в виде ______;
3) тело находится под точкой подвеса, когда ….
(Жесткость пружины 
, длина свободной пружины 
. Слабость пружины означает, что 
.)
Решение
Уравнения движения груза в точке по горизонтали и по вертикали следующие:
, где 
и 
— проекции силы упругости 
на 
и 
оси, 
— величина деформации пружины, 
, 
(см. рис.).
Следовательно, уравнения движения имеют вид: 
.
Когда 
, можно пренебречь первоначальной длиной 
пружины. Тогда уравнения движения приобретают простой вид: 
.
Эти уравнения описывают гармонические колебания относительно начала координат в направлении и относительно положения равновесия в 
направлении. Объединение начальных условий дает решение уравнений гармонических колебаний в виде 
.
Тело находится под точкой подвеса, когда 
.
Ответ
1. 
; 2. 
; 3. 
Задания №5, №6, №7, №8 являются составными частями одного общего V задания.
Задание №5
Из леса по прямолинейному шоссе, перпендикулярному к опушке леса, с постоянной скоростью 
выезжает автобус. По лугу вдоль пушки леса с постоянной скоростью 
едет велосипедист (см. рис.).
Велосипедист увидел автобус и тотчас устремился за ним в погоню. Скорость велосипеда 
постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данный момент автобус. Вначале расстояние между автобусом и велосипедом уменьшается, затем начинает возрастать.
Если минимальное расстояние 
между автобусом и велосипедом составляет 
, то в тот момент, когда расстояние стало минимальным, значение угла 
определяется соотношением …
Решение
Пусть в некоторый момент скорость велосипеда составляет угол 
с направлением скорости автобуса, тогда скорость сближения велосипеда и автобуса равна 
.
Минимальное расстояние между участниками получается в тот момент, когда относительная скорость становится нулевой; значение угла при этом определяется соотношением 
.
Ответ
;
Задание №6
Из леса по прямолинейному шоссе, перпендикулярному к опушке леса, с постоянной скоростью выезжает автобус. По лугу вдоль пушки леса с постоянной скоростью 
едет велосипедист (см. рис.).
Велосипедист увидел автобус и тотчас устремился за ним в погоню. Скорость велосипеда постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данный момент автобус. Вначале расстояние между автобусом и велосипедом уменьшается, затем начинает возрастать.
Если минимальное расстояние 
между автобусом и велосипедом составляет , то в тот момент, когда расстояние стало минимальным, угловая скорость 
поворота вектора скорости велосипеда определяется равенством …
Решение
Учитывая ответ на предшествующее задание (№5), найдем малый угол 
поворота вектора скорости велосипеда за очень малый интервал времени 
. В прямоугольном треугольнике 
(см. рис.):
здесь учтено, что 
и 
.
Следовательно, угловая скорость 
поворота вектора скорости 
велосипеда равна 
.
Ответ
;
Задание №7.
Из леса по прямолинейному шоссе, перпендикулярному к опушке леса, с постоянной скоростью выезжает автобус. По лугу вдоль пушки леса с постоянной скоростью едет велосипедист (см. рис.).
Велосипедист увидел автобус и тотчас устремился за ним в погоню. Скорость велосипеда 
постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данный момент автобус. Вначале расстояние между автобусом и велосипедом уменьшается, затем начинает возрастать.
Если минимальное расстояние между автобусом и велосипедом составляет 
, то в тот момент, когда расстояние стало минимальным, ускорение велосипеда определяется выражением ….
Решение
Учитывая ответ на предшествующее задание (№6), найдем ускорение велосипеда 
.
Здесь учтено, что скорость велосипеда в неподвижной системе отсчета по модулю постоянна; значит, тангенциальное ускорение 
велосипеда равно 
. Тогда ускорение велосипедиста связано с поворотом вектора его скорости и равно нормальному ускорению 
, где 
— радиус кривизны траектории движения велосипеда, 
— угловая скорость поворота вектора скорости велосипеда.
Ответ
;
Задание №8
Из леса по прямолинейному шоссе, перпендикулярному к опушке леса, с постоянной скоростью 
выезжает автобус. По лугу вдоль пушки леса с постоянной скоростью едет велосипедист (см. рис.).
Велосипедист увидел автобус и тотчас устремился за ним в погоню. Скорость велосипеда 
постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данный момент автобус. Вначале расстояние между автобусом и велосипедом уменьшается, затем начинает возрастать.
Если минимальное расстояние между автобусом и велосипедом составляет , то в тот момент, когда расстояние стало минимальным, выражение для радиуса кривизны траектории движения велосипеда имеет вид…
Решение
Учитывая ответ на предшествующее задание (№7), найдем радиуса кривизны 
траектории движения велосипеда: 
.
Здесь учтено, что скорость велосипеда в неподвижной системе отсчета по модулю постоянна; значит, тангенциальное ускорение 
велосипеда равно 
. Тогда ускорение велосипедиста связано с поворотом вектора его скорости и равно нормальному ускорению 
, где — радиус кривизны траектории движения велосипеда.
Ответ
;