ОПТИМАЛЬНАЯ ЗАГРУЗКА СКЛАДОВ

Порт (район) располагает n складами каждый с полезной площадью F_j и должен переработать различных m грузов, суточный грузооборот каждого из которых G_i.

Разрабатываем оптимальный план загрузки складов при минимизации затрат складской площади на освоение заданного грузооборота.

_{m n}

L = Σ Σ g_ij c_ij – min,

^{i=1 j=1}

g_ij – параметр управления – количество i-го вида груза, хранимого на j-ом складе;

c_ij – удельная складоемкость i-го вида груза на j-ом складе, характеризует комплексный объем работ склада в квадратных метрах в сутки, приходящийся на 1 т груза.

Математическая модель задачи оптимального плана загрузки складов состоит из целевой функции L и ограничений:

· по грузообороту

_n

Σ g_ij = G_i, (i = 1,m),

^j=1

G_i – суточный грузооборот i-го груза, т;

· по емкости склада

_m

Σ g_ij c_ij ≤ F_j, (j = 1,n),

ⁱ⁼¹

F_j – полезная площадь j-го склада, м²;

· условие неотрицательности

g_ij ≥ 0 (i=1,m; j=1,n).

Удельная складоемкость i-го вида груза на j-ом складе вычисляем по формуле

c_ij = t_хi / Р_вij,

t_хi – срок хранения i-го вида груза, сут.

Составляем распределительную таблицу, в которой будет производиться размещение груза по складам (табл.4.1).

Таблица 4.1. Распределительная таблица

Грузы RiSj	Склады	Суточный грузооборот Gi, т	Склад- Вагон
0,928	1,216	1,22
Нитролаки	14,11	16,5     t = 1,26	16,34     t = 0,949	21,28     t = 1,24	14,11 1171,13	83	0,24
Рыба вяленая	28,1	33,76     t = 1,29	33,38     t = 0,949	34,29 3166,76 92,35		165 72,65	0,375 27,24 72,65
Хлопок малопрес.	25,64	23,81 4500	31,18 5000 160,36	31,32 333,24 10,64	25,64	360 171 10,64	0,42
Графит	5,84	6,83     t = 1,26	6,77     t = 0,95	8,91     t = 1,25	5,84 3328,8	570	0,11
Балка двутавровая	15,51				15,51 2000,07 128,95	185 56,05	0,31 13,37 56,05
Площадь склада Fпj, м2	4500	5000	3500 3166,76	6500 3171,2 2000,07

Так как площадей складов не хватает для размещения заданных грузопотоков, в распределительную матрицу добавляем столбец, в котором используются вагоны как «склад на колесах». Удельная складоемкость определяется так:

c_ij = t_хi / Р_вагi,

(для всех грузов кроме балки выбран вагон крытый металлический грузоподъемностью 64 т, а для балки – 6-осный металлический полувагон). Этот дополнительный столбец в оптимизационных расчетах не участвует.

Проверяем план на опорность.

Условием опорности является то, что количество занятых клеток должно быть равно m + n -1 (m – количество строк, n – количество столбцов). Для данной задачи m + n –1 = 5 + 4 – 1 = 8, а количество занятых клеток – 7. Таким образом, план – не опорен. Исходя из этого, в одну из свободных клеток (клетка 34) ставим 0, так чтобы не образовался цикл и эта клетка считается занятой.

Проверяем план на оптимальность.

Для этого, исходя из условия, что для опорного плана R_i · S_j = c_ij и приравняв в одном столбце значение S_j единице, рассчитываем все значения R_i, S_j.

Условием оптимальности то, что для всех свободных клеток R_i · S_j £ c_ij. Поэтому по всем свободным клеткам рассчитываем t_ij = c_ij / (R_i · S_j):

t₁₁ = 16,5 / (14,11 · 0,928) = 1,26 > 1,

t₁₂ = 16,34 / (14,11 · 1,216) = 0,949 < 1,

t₁₃ = 21,28 / (14,11 · 1,22) = 1,24 > 1,

t₂₁ = 33,76 / (28,1 · 0,928) = 1,29 > 1,

t₂₂ = 33,38 / (28,1 · 1,216) = 0,986 < 1,

t₄₁ = 6,83 / (5,84 · 0,928) = 1,26 > 1,

t₄₂ = 6,77 / (5,84 · 1,216) = 0,95 < 1,

t₄₃ = 8,91 / (5,84 · 1,22) = 1,25 > 1.

Так как не для всех клеток t_ij ³ 1, план не является оптимальным и требует улучшения.

Улучшение плана проводим таким образом: выбираем клетку, для которой t_ij –min (это клетка 12), и составляем новую распределительную таблицу, причем эту клетку заполняем в первую очередь. Заполняя новую таблицу (табл.4.2) учитываем также невязки между значениями c_ij для разных клеток отдельных строчек и соответственно распределяем грузопотоки между складами.

Таблица 4.2. Распределительная таблица

Грузы RiSj	Склады	Суточный грузооборот Gi, т	Склад- Вагон
0,928	1,159	1,22
Нитролаки	14,09	16,5     t = 1,26	16,34 1356,2	21,28     t = 1,2379	14,11     t = 1,001	83	0,24
Рыба вяленая	28,1	33,76     t = 1,29	33,38     t = 1,02	34,29 2350,6 68,5		165 96,5	0,375 36,187 96,5
Хлопок малопрес.	25,64	23,81 4500	31,18   t = 1,049	31,32 1149,4 36,7	25,64 3444,9 134,3	360 171 36,7	0,42
Графит	5,84	6,83     t = 1,26	6,77 3643,8 538,2	8,91     t = 1,25	5,84 185,7 31,8	570 31,8	0,11
Балка двутавровая	15,51				15,51 2869,4	185	0,31
Площадь склада Fпj, м2	4500	5000 3643,8	3500 2350,6	6500 3630,6 3444,9

Проверяем план на опорность.

m + n –1 = 5 + 4 – 1 = 8, количество занятых клеток – 8, значит план – опорный.

Проверяем план на оптимальность.

t₁₁ = 16,5 / (14,09 · 0,928) = 1,26 > 1,

t₁₃ = 21,28 / (14,09 · 1,22) = 1,2379 > 1,

t₁₄ = 14,11 / (14,09 · 1) = 1,001 > 1,

t₂₁ = 33,76 / (28,1 · 0,928) = 1,26 > 1,

t₂₃ = 33,38 / (28,1 · 1,159) = 1,02 > 1,

t₃₂ = 31,18 / (25,64 · 1,159) = 1,049 > 1,

t₄₁ = 6,83 / (5,84 · 0,928) = 1,26 > 1,

t₄₃ = 8,91 / (5,84 · 1,22) = 1,25 > 1.

Так как все t_ij ³ 1, план является оптимальным, то есть мы получили матрицу оптимального распределения грузов по складам.