Пусть дана система линейных уравнений:
Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:
Свободные члены и неизвестные можно записать в виде матрицы столбцов:
Тогда, используя правило умножение матриц, эту систему уравнений можно записать так:
или
A·x = b. (1)
Равенство (1) называется матричным уравнением или системой уравнений в матричном виде.
Матрица А коэффициентов при неизвестных называется главной матрицей системы.
Иногда рассматривают также расширенную матрицу системы, т. е. главную матрицу системы, дополненную столбцом свободных членов, которую записывают в следующем виде:
Любую линейную систему уравнений можно записать в матричном виде. Например, пусть дана система:
Эта система из двух уравнений с тремя неизвестными – x, y,. В высшей математике можно рассматривать системы из очень большого числа уравнений с большим количеством неизвестных и поэтому неизвестные принято обозначать только буквой х, но с индексами:
Запишем эту систему в матричном виде:
Здесь главная матрица системы:
Расширенная матрица будет иметь вид:
Решения матричных уравнений.
Матричные уравнения решаются при помощи обратных матриц. Уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А – невырожденная (D ≠ 0), тогда существует обратная матрица А-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем А-1(АХ) = А-1В. Используя сочетательный закон умножения, перепишем это равенство в виде
(А-1А) Х = А-1В.
Поскольку А-1 А = Е и ЕХ = Х, находим:
Х = А-1В.
Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:
1. Найти обратную матрицу А-1.
2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на матрицу столбец свободных членов В, т. е А-1В.
Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.
При этом собственно нахождение обратной матрицы – процесс достаточно трудоемкий и его программирование вряд ли можно назвать элементарной задачей. Поэтому на практике чаще применяют численные методы решения систем линейных уравнений.
К численным методам решения систем линейных уравнений относят такие как: метод Гаусса, метод Крамера, итеративные методы. В методе Гаусса, например, работают над расширенной матрицей системы. А в методе Крамера – с определителями системы, образованными по специальному правилу.
Метод Крамера.
При решении систем линейных уравнений по методу Крамера последовательно выполняется следующий алгоритм:
1. Записывают систему в матричном виде (если это еще не сделано).
2. Вычисляют главный определитель системы:
3. Вычисляют все дополнительные определители системы:
4. Если главный определитель системы не равен нулю, то выполняют пункт 5. Иначе рассматривают вопрос о разрешимости данной системы (имеет бесчисленное множество решений или не имеет решений). Находят значения всех неизвестных по формулам Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, которые имеют вид:
Пример 1
Решить по методу Крамера систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
Решение
Запишем главный и побочные определители системы:
Вычислим эти определители:
Δ = 3*4*(-4)+7*(-3)*5+(-2)*(-8)*5-5*4*5-3*(-3)*(-8)-7*(-2)*(-4) = 48-105+80-100-72-56 = 128-333 = -205.
Δ1 = -112+(-45)+(-192)-(-240)-24-168 = -112-45-192+240-24-168 = 240-541 = -301.
Δ2 = -36-420-280-75+196-288 = 196-1099 = -903.
Δ3 = -144-147-30-140+27-168 = -629+27 = -602.
Главный определитель системы не равен нулю. Находим неизвестные по формулам Крамера.
Подставим найденные значения определителей в формулы Крамера:
x1 = Δ1/Δ = -301/(-205) = 1,468292682927 ≈ 1,47;
x2 = Δ2/Δ = -903/(-205) = 4,40487804878 ≈ 4,4;
x3 = Δ3/Δ = -602/(-205) = 2,936585365854 ≈ 2,93.
Вывод.
При решении систем линейных уравнений по методу Крамера используются формулы, в которых участвуют как главный, так и дополнительные определители системы:
Напомним, что главным определителем системы называется определитель главной матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:
Если в главном определителе системы заменить поочередно столбцы коэффициентов при x1, x2,...xn на столбец свободных членов, то получим n дополнительных определителей (для каждого из n неизвестных):
При этом важен вопрос о разрешимости данной системы, который решается сравнением главного и дополнительных определителей системы с нулем:
