Знание функций спроса (8.5) и функции предложения (8.6) позволяет отслеживать реакцию производителя на изменение цены выпуска продукции (
) и цен на ресурсы (
, 
), а также определять их ценность, взаимозаменяемость и взаимодополняемость.
Пусть функции спроса на ресурсы
описывают оптимальное распределение ресурсов, при этом функция
есть функция предложения выпуска.
Введем обозначения 
, 
матрица Гессе для ПФ 
(в силу ограничений матрица Гессе определенно-отрицательная и 
).
Следующая система уравнений в теории моделирования поведения производителя называется основным матричным уравнением теории фирмы:
(8.9)
Она позволяет оценивать поведение производителя при одновременном изменение цены выпуска и цен на ресурсы.
Первое уравнение в системе (8.9) показывает, как изменится выпуск 
при увеличении цены на продукцию фирмы. Так как матрица Гессе определенно-отрицательная, то 
при всех 
, т.е. 
(с ростом цены выпуск растет; выпуск как функция цены является возрастающей).
Второе уравнение в системе (8.9) позволяет оценить поведение функции спроса на ресурсы при увеличении цены выпуска . При этом ресурс (например, капитал 
) называется ценным (малоценным), если 
(соответственно 
). Можно доказать, что обязательно среди двух ресурсов (капитала и труда 
) найдется, по крайней мере, хотя бы один ценный (при увеличении цены выпуска увеличивается спрос на этот ресурс).
Третье уравнение в системе (8.9) позволяет оценить поведение функции предложения 
при изменении цен , на ресурсы, причем
.
Возрастание цены продукции приводит к повышению (понижению) спроса на отдельные виды ресурсов, если повышение цены на этот ресурс приводит к сокращению (возрастанию) оптимального выпуска. В частности, увеличение цены на малоценный ресурс ведет к увеличению выпуска.
Четвертое уравнение в системе (8.9) позволяет выяснить, как ведут себя функции спроса на ресурсы при изменении цен , на ресурсы. Имеем
,
причем 
. Повышение цены на ресурс (капитал и труд) всегда приводит к падению спроса на этот ресурс (функции спроса как функции цен на ресурсы являются убывающими).
Ресурсы и называются взаимозаменяемыми (взаимодополняемыми), если 
(соответственно 
). Для взаимозаменяемых ресурсов увеличение цены на один из них приводит к падению спроса на этот ресурс, но к увеличению спроса на другой. Для взаимодополняемых ресурсов увеличение цены на один из них приводит к одновременному падению спроса на оба ресурса.
Замечание 8.5.Система уравнений (8.9) применяется и в том случае, если не удалось в явном аналитическом виде найти функции спроса на ресурсы (8.5). В этом случае предполагается, что найдено оптимальное распределение ресурсов 
(локальное рыночное равновесие) при наперед заданных ценах , , . Тогда исследование проводится в окрестности точки .
Пример 8.3. Используя решение в среде Maple примера 8.2 (учитывая, что в явном виде найдены функции спроса на ресурсы и функция предложения), оценить поведение производителя при изменениях цен на ресурсы и цены продукции.
Рекомендуем самостоятельно составить программу в среде Maple для решения этого примера.
8.4. Минимизация издержек при постоянном уровне выпуска
Пусть заданы производственная функция 
вида (8.1) функция затрат 
на ресурсы и . Уровень производства задан величиной 
. Требуется найти точку 
оптимального распределения ресурсов (называемую также точкой наиболее экономичного производства) такую, что при данном уровне выпуска 
издержки были минимальны:
(8.10)
Задача (8.10) 
задача на условный экстремум, решаемая методом множителя Лагранжа. Вводится функция Лагранжа
Необходимое условие точки условного экстремума имеет вид:
Пример 8.4. Используя ПФ CES предприятия из примера 8.2, найти точку наиболее экономичного производства такую, что при уровне выпуска 
издержки были минимальны.
Решение. Программа в среде Maple имеет вид.
[> restart; with(Optimization): Digits:=6:
[> F:=A*(alpha*K^(-rho)+(1-alpha)*L^(-rho))^((-1)*g/rho);
C:=w[1]*K+w[2]*L; Pribyl:=P*F-C;
[> A:=2.5: alpha:=1/3: rho:=-0.75: g:=0.75: w[1]:=1.5: w[2]:=2:
P:=6: Q[0]:=100:
[> F_Lagrang:=C+lambda*(Q[0]-F);
[> Gradient_F_Lagrang:={diff(F_Lagrang,K), diff(F_Lagrang,L),
diff(F_Lagrang, lambda)};
sys:={Gradient_F_Lagrang[1]=0, Gradient_F_Lagrang[2]=0,
Gradient_F_Lagrang[3]=0}:
Optimal_Raspred:=fsolve(sys, {K,L,lambda});
[> K:=rhs(Optimal_Raspred[1]): L:=rhs(Optimal_Raspred[2]):
Minimum_C:=evalf(C); Maximum_Pribyl:=evalf(Pribyl);
[> K:='K': L:='L':
[> Min_C:=evalf(Minimize(C, {F=Q[0]}, assume=nonnegative));
[> Max_Pribyl=evalf(Maximize(Pribyl, {F=Q[0]},
assume=nonnegative));
|
§ 9. Моделирование рыночного равновесия
9.1. Понятие о рыночном равновесии
В § 7 была изучена модель поведения потребителя. Анализ модели показал, что если в многофакторной функции спроса меняется только цена 
товара, а все остальные факторы (цены на другие товары, доход потребителя) неизменны, то функция спроса имеет вид 
(функция монотонно убывает).
В § 8 изучалась модель поведения производителя, которая позволяла построить функцию предложения. Анализ показал, что если изменяется только цена данного товара, а все остальные факторы (цены на другие товары, основные производственные фонды) остаются постоянными, то функция предложения имеет вид 
(функция монотонно возрастает).
Функции спроса и предложения являются основными составляющими модели рынка товаров, так как они являются решениями оптимизационных задач (см. § 7, § 8), которые возникают перед участниками.
Пересечение графиков функций спроса и предложения происходит в точке  (см. рис. 9.1), называемой точкой рыночного равновесия. Цену  , при которой достигается состояние рыночного равновесия, называют равновесной ценой. При этом при фиксированной равновесной цене потребитель, стремясь максимизировать свою полезность, предъявляет спрос  ; товаропроизводитель, максимизируя прибыль, поставляет на рынок товар в количестве  .
| 
Рис.9.1.
|
Равновесная цена 
находится как решение уравнения
.
Если параметры уравнения не зависят явно от времени, то его называют статической моделью «спрос-предложение », в противном случае – динамической моделью «спрос-предложение ».
Замечание 9.1. Помимо прямых функций спроса, полученных в § 7, в экономико-математических моделях часто используются так называемые логистические функции спроса от дохода потребителя [7]. На их основе можно получить следующие функции спроса от цены :
В данном пособии при составлении модели рыночного равновесия используем дискретные модели, когда переменные на промежутке времени 
принимаются постоянными, равными
.
Дискретные модели более актуальны в экономической ситуации, так как в них последовательно отражаются процедуры принятия решений.
Замечание 9.2. Для исследования дискретной модели «спрос-предложение» на устойчивость вводится понятие эластичности функций спроса и предложения по цене [2, 3, 8]:
Замечание 9.3. В случае, когда функции спроса и предложения линейно зависят от цены :
, 
, 
, 
, 
, 
, 
,
мы имеем так называемую статическую модель Эванса [2, 3, 8].
9.2. Дискретные паутинообразные модели