к решению математических задач

§ 1. Математическая система Maple: основные принципы работы

Система Maple (разработана канадской компанией Waterloo Maple Software) на сегодняшнее время является одной из ведущих вычислительных систем компьютерной математики (наряду с MathCad, MathLab, Mathematica). По сути, Maple – это не просто математическая программа, а целый комплекс так называемых пакетов (packages), каждый из которых направлен на решение различных задач линейной алгебры, аналитической геометрии, математического анализа, дифференциальных уравнений, математической статистики, линейного и нелинейного программирования и т.д.

Maple традиционно считают системой аналитико-символьных вычислений (в отличие от нее MathCad – в основном программа для численных расчетов). Это означает, что система в большинстве случаев выдает ответ на решение задачи в самом общем – символьном виде. Maple одна из самых надежных идостоверных систем компьютерной математики. Надежных – в смысле высокой достоверности и точности полученных результатов при самых сложных символьных вычислениях.

Особенно эффективно использование Maple при обучении математике. Высочайший «интеллект» этой системы символьной математики объединяется в ней с мощными средствами математического численного моделирования и возможностями графической визуализации решений.

Maple – интегрированная система. Она объединяет в себе:

• мощный язык программирования, основанный на языке С++ (он же язык для интерактивного общения с системой);
• редактор для подготовки и редактирования документов и программ;
• современный многооконный пользовательский интерфейс с возможностью работы в диалоговом режиме;
• мощную справочную систему [меню Help, вкладки Introduction (общая справочная система), Topic Search… (поиск справки по какому-то определенному разделу или команде), Glossary (глоссарий)];
• ядро алгоритмов и правил символьных и аналитических преобразований математических выражений;
• численный и символьный процессоры;
• систему диагностики ошибок при вычислениях и преобразованиях;
• библиотеки встроенных и дополнительных процедур и функций;
• пакеты (packages) внешних функций для решения различного рода задач и поддержи других языков программирования и программ.

Рассмотрим кратко основные принципы работы в Maple. Более подробную информацию можно взять в [1, 9, 12, 13], а также на многочисленных сайтах, посвященных этой системе.

Основой для работы с символьными преобразованиями в Maple является ядро системы. Оно содержит сотни базовых функций и алгоритмов численных и символьных преобразований. В ядре имеются также библиотека операторов, команд и специально подключаемые пакеты (packages).

При первоначальном запуске появляется рабочее окно программы Maple (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1.

В некоторых новых версиях программы оно может несколько отличаться от этого (в данном пособии речь идет о версии Maple 12, большинство примеров и описаний идут корректно на версиях Maple 10 и Maple 11). Рабочее окно программы состоит из следующих элементов:

1) основного (главного) меню (вкладки File, Edit, View, Insert, Format, Spreadsheet, Window, Help);

2) панели главных инструментов;

3) контекстной панели инструментов;

4) рабочей области (окно ввода и редактирования документов).

Рабочий лист (worksheet) среды является основным документом, в котором вводятся команды пользователя и в который выдаются результаты работы.

В рабочем листе Maple выделяются области ввода и области вывода. В области ввода пользователем вводятся команды (более подробное описание видов команд смотри далее), а также комментарии и текстовая информация. В полях вывода отображаются результаты выполнения введенных команд, включая сообщения об ошибках и графика. Комментарии и текстовая информация ядром Maple не обрабатываются и предназначены только для разработчиков и пользователей программ.

Основной режим работы системы Maple – командно-диалоговый режим. Это означает, что пользователь на запрос системы

[ >

должен ввести команды, понятные процессору Maple. Признаком окончания ввода команды служит символ точка с запятой (;) (результат действия процессора и вычисления будет выведен на экран) или символ двоеточие (:) (вычисления не будут выведены на экран, данный символ используется как знак разделителя при записи некоторых команд в одной строке).

Область ввода и соответствующая ей область вывода называются группой вычислений. На рабочем листе она отмечается квадратной скобкой слева. В группе вычислений может содержаться несколько областей ввода и вывода: все команды и операторы в областях ввода одной группы вычислений обрабатываются системой за одно обращение по нажатию клавиши <Enter>.

Maple имеет следующие основные виды команд:

1) оператор присваивания. Имеет следующий синтаксис (правило описания):

[ > имя_переменной:=значение[;\:]

Например,

[ > x:=3; v:=vector([1,2,3]); f(y):=sin(ln(y));

2) вызов процедуры или функции. Имеет следующий синтаксис:

[> имя_процедуры(список параметров)[;\:]

или

[> имя_переменной:=имя_функции(список параметров)[;\:]

В следующих строках определены функция , дробно-рациональная функция , процедуры интегрирования функции , дифференцирования и функция упрощения производной от :

[ > restart; f(x):=tan(x); g(x):=int(f(x),x);

[ > h(x):=(x+2)/(x-2); diff(h(x),x); R:=simplify(diff(h(x),x));

Приведем описание некоторых встроенных функций элементарных преобразований, которые нам потребуются в дальнейшем:

restart – “обнуление” значений всех переменных, отмена подключенных пакетов и т.д. (рекомендуется использовать в качестве первой команды рабочего листа);

evalf – преобразования числа в число с плавающей точкой (перевод точного числа в приближенное). Имеет следующий синтаксис:

[> evalf(<выражение>, <кол_цифр>);

[> evalf[<кол_цифр>](<выражение>);

Здесь параметры:

<выражение> – выражение, в котором все числа требуется привести к виду чисел с плавающей точкой;

<кол_цифр> – целое число, указывающее количество значащих цифр для вычислений (необязательный параметр);

Digits – глобальная переменная пакета Maple, значение которой (по умолчанию оно равно 10) показывает количество значащих цифр, выводимых на экран;

% (символ процента) – вывод результата выполнения предыдущей операции;

%% – вывод результата выполнения “предпредыдущей” операции;

# (символ решетка) – использование комментария в программе;

simplify – упростить выражение. Имеет следующий синтаксис:

[> simplify(<выражение>);

С полным списком функций, входящих в ядро Maple, и их обозначениями можно познакомиться, набрав команду inifcn, выделить ее мышкой и нажать кнопку <F1>;

3) подключение специальных пакетов Maple. Подключение пакета осуществляется следующим образом:

[> with(имя_пакета)[;\:]

Например, с помощью следующих команд:

[> restart; with(LinearAlgebra):

[> with(simplex);

в оперативную память загружаются пакет LinearAlgebra, ориентированный на решение задач линейной алгебры, и пакет simplex, предназначенный для решения задач линейного программирования.

Напомним, что при начальном запуске системы в оперативную память загружено только ядро системы. Однако при решении огромного класса задач, требующих сложных расчетов, встроенных процедур и функций ядра не хватает. В состав Maple 12 входит около 80 пакетов. Дадим список наиболее часто используемых пакетов Maple (с полным списком пакетов можно ознакомиться, используя главное меню Help –> вкладка Introduction –> Mathematics… –> Packages…):

· DEtools – решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем в численном и аналитическом видах, представление результатов в виде фазовых портретов, полей направлений, интегральных кривых и т.д.;

· finance – пакет финансовой математики;

· geom3d, geometry – пакеты трехмерной и двумерной евклидовой геометрии;

· LinearAlgebra – линейная алгебра (основной и незаменимый пакет для решения задач линейной и матричной алгебры);

· linalg – линейная алгебра и структуры данных массивов (до версии 6.0 являлся основным пакетом для решения задач линейной алгебры);

· inttrans – интегральные преобразования и их обратные преобразования;

· networks – пакет для работы с графами;

· numapprox – численная аппроксимация;

· Optimization – пакет для решения задач нелинейного программирования;

· plots – пакет для расширения графических возможностей;

· powseries – разложение функций в степенные ряды;

· simplex – пакет для решения задач линейного программирования;

· statistic – пакет для обработки статистических данных;

· sumtools — числовые ряды;

4) вызов справки (или примера) по определенному разделу, процедуре, функции, пакету. Вызов производится следующим образом:

[> help(имя)[;\:]

[> example(имя)[;\:]

§ 2. Применение пакета Maple к решению задач математического анализа

В этом параграфе будет рассмотрено применение Maple к решению часто встречающихся задач математического анализа. В состав ядра Maple входит достаточное количество встроенных процедур и функций [1, 9, 12, 13], ориентированных на решение задач математического анализа. В табл. 2.1 приводится список процедур и функций, которые нам потребуются в дальнейшем.

Таблица 2.1.

Процедура, функция	Назначение процедуры, функции
plot(f(x),x)	Построение графика функции
solve(f(x),x)	Решение уравнения , неравенства
fsolve(f(x),x)	Решение нелинейного уравнения или неравенства
diff(f(x),x[i])	Процедура дифференцирования функции по переменной
int(f(x),x[i])	Процедура интегрирования функции по переменной
int(f(x),x=a..b)	Вычисление определенного () или несобственного () интеграла
piecewise(f1,g1,…,fn,gn)	Определение кусочно-заданной функции в виде
limit(f(x),x=x0,dir)	Нахождение предела функции в точке , dir - параметр, принимающий значения left (предел слева), right (предел

 

Окончание табл.2.1.

	справа)
discont(f(x),x)	Функция, возвращающая значения , в которых нарушается условие непрерывности функции
maximized(f(x), x=a..b) minimized(f(x), x=a..b)	Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
ехtrema(f(x),{переменные})	Нахождение безусловных экстремумов функции нескольких переменных
ехtrema(f(x),{g(x)}, {переменные})	Нахождение условных экстремумов функции с условием

2.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Покажем, как применяется аппарат Maple при исследовании функции одной переменной. А график, построенный командой plot, будем использовать в качестве иллюстрации полученных результатов.

Пример 2.1. Провести полное исследование функции . Решение

Рабочий лист в среде Maple имеет следующий вид.

[> restart; f(x):=(3-x)*exp(x); /определяем точки разрыва функции и область значений функции / [> Point_Discont:=discont(f(x),x); E_f:={limit(f(x), x=-infinity), limit(f(x), x=+infinity)}; /проверяем функцию на четность и нечетность с помощью команды evalb/ [> evalb(f(-x)=f(x)); evalb(f(-x)=-f(x)); /функция является функцией общего вида/ /находим уравнение (, ) наклонной или горизонтальной асимптоты с помощью команды limit/ [> k[1]:=limit(f(x)/x, x=-infinity); k[2]:=limit(f(x)/x, x=+infinity); [> b[1]:=limit(f(x)-k[1]*x, x=-infinity); b[2]:=limit(f(x)-k[2]*x, x=+infinity); /график функции имеет горизонтальную асимптоту на / /определяем области знакоположительности (OBlast_ZnakoPol_f) и знакоотрицательности (OBlast_ZnakoOtr_f) функции, а также нули функции/ [> OBlast_ZnakoPol_f:=solve(f(x)>0,x); OBlast_ZnakoOtr_f:=solve(f(x)<0,x); Null_f:=solve(f(x)=0,x); /находим первую производную функции, стационарную точку функции , определяем интервалы возрастания (Interval_Vosrastan) и убывания (Interval_Ubyvan) функции/ [> g(x):=diff(f(x),x); x[0]:=fsolve(g(x)=0,x); [> Interval_Vosrastan:=solve(g(x)>0,x); Interval_Ubyvan:=solve(g(x)<0,x); /находим вторую производную функции, определяем интервалы выпуклости вниз (Interval_Vypuklost_Vnis) и выпуклости вверх (Interval_Vypuklost_Vverh) функции/ [> h(x):=diff(f(x),x$2); x[1]:=fsolve(h(x)=0,x); [> Interval_Vypuklost_Vnis:=solve(h(x)>0,x); Interval_Vypuklost_Vverh:=solve(h(x)<0,x); /строимграфикфункции/ [> plot((3-x)*exp(x),x=-3..4, color=black, thickness=3);

2.2. Дифференциальное исчисление функции многих переменных

В данном разделе рассмотрим применение аппарата Maple к вычислению частных производных и нахождению экстремумов функции многих переменных. Встроенная в ядро Maple функция дифференцирования diff применима к функции многих переменных . Ее формат для вычисления частной производной () имеет вид:

[> diff(f(x), x1$k1, …, xn$kn);

Пример 2.2. Дана функция . Найти частные производные первого и второго порядков, проверить справедливость равенства смешанных производных второго порядка.

[> z:=cos(x*x+y)-exp(x-y*y); /задаем функцию/ [> dzdx:=diff(z,x); dzdy:=diff(z,y); /вычисляем частные производные первого порядка/ [> d2zdx2:=diff(z,x$2); d2zdy2:=diff(z,y$2); /вычисляем частные производные второго порядка/ [> d2zdxdy:=diff(z,x,y); d2zdydx:=diff(z,y,x); /вычисляем смешанные производные второго порядка/ [> evalb(d2zdxdy=d2zdydx); /проверяем равенство смешанных производных/

 

Безусловные экстремумы функции переменной находятся с помощью встроенной процедуры ехtrema:

[> ехtrema(f(x),{},{переменные});

Однако эта функция, как мы увидим из примера, дает только точки, подозрительные на экстремум. Для точного ответа на вопрос об экстремуме необходимо исследовать функцию с помощью известного критерия Сильвестра.

Пример 2.3. Исследовать на безусловный экстремум функцию

.

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z:=2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4: [> plot3d(z, x[1]=-2..2, x[2]=-2..2); /строим график целевой функции/ /из графика функции видно, что она имеет две точки максимума/ [> extrema(z,{},{x[1],x[2]}); /вычисляем возможные экстремумы/ [> dzdx1:=diff(z,x[1]); dzdx2:=diff(z,x[2]); /вычисляем частные производные первого порядка/ [> fsolve({dzdx1=0,dzdx2=0},{x[1],x[2]}); /вычисляем точку возможного экстремума, пользуясь необходимым признаком точки экстремума/ [> d2zdx12:=diff(z,x[1]$2); d2zdx22:=diff(z,x[2]$2); d2zdx1dx2:=diff(z,x[1],x[2]); /вычисляем частные производные второго порядка/ [>Gesse:= Matrix(2,2,[[d2zdx12,d2zdx1dx2],[d2zdx1dx2,d2zdx22]]); /строим матрицу Гессе частных производных второго порядка / /Ниже исследуется точка возможного экстремума с помощью критерия Сильвестра/ [> x[1]:=1.414213562: x[2]:=-1.414213562: Gesse; Delta[1]:= Gesse[1,1]; Delta[2]:=Gesse[1,1]*Gesse[2,2]-Gesse[1,2]^2;

Согласно критерию Сильвестра точка является точкой максимума функции. Вторая точка также является точкой максимума функции (матрица Гессе в ней имеет такой же вид).

Исследуем точку с помощью критерия Сильвестра.

[> x[1]:=0: x[2]:=0: Gesse; Delta[1]:=Gesse[1,1]; Delta[2]:=Gesse[1,1]*Gesse[2,2]-Gesse[1,2]^2; [> restart;z:=2*x[1]^2-4*x[1]*x[2]+2*x[2]^2-x[1]^4-x[2]^4:

Главный минор матрицы Гессе равен нулю, следовательно, необходимо проводить дополнительные исследования. Ниже показано, что при:

, : ,

: .

В достаточно малой окрестности точки функция меняет свой знак (при этом ), и точка не является точкой экстремума.

[> x[1]:=0: z; solve(z>=0, x[2]); [> x[1]:=x[2]: z; solve(z<0, x[2]);

 

Условные экстремумы функции многих переменных находятся с помощью той же процедуры ехtrema, только в фигурных скобках {} указываются ограничения (уравнения связи) на переменные .

Известно, что задача на условный экстремум ставится так: найти точку условного экстремума (максимума или минимума) функции , если на переменные накладываются дополнительные ограничения (уравнения связи): ().

Пример 2.4. Найти точку условного экстремума функции

,

где переменные удовлетворяют уравнениям связи

Решение

Рабочий лист Maple имеет вид:

[> z:=x[1]*x[2]*x[3]; phi[1]:=x[1]+x[2]+x[3]-4; phi[2]:=x[1]*x[2]+x[1]*x[3]+x[2]*x[3]-5; /Находим экстремумы функции с помощью команды ехtrema (заметим, что команда выдает нам только значение экстремума функции)/ [> extrema(z,{phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x[3]}); /С помощью процедуры solve находим точки возможного условного экстремума функции/ [> solve({z=2,phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x[3]}); [> solve({z=50/27,phi[1],phi[2]},{x[1],x[2],x[3]}); /Строим функцию Лагранжа . Применяя необходимый признак условного экстремума для функции Лагранжа, находим ее условно-стационарные точки/ [> L:=z+lambda[1]*phi[1]+lambda[2]*phi[2]; [> dLdx1:=diff(L,x[1]); dLdx2:=diff(L,x[2]); dLdx3:=diff(L,x[3]); dLdlambda1:=diff(L,lambda[1]); dLdlambda2:=diff(L,lambda[2]); [> Uslov_Stat_Point:=solve({dLdx1=0, dLdx2=0, dLdx3=0, dLdlambda1=0, dLdlambda2=0},{x[1],x[2],x[3],lambda[1], lambda[2]}): [> Uslov_Stat_Point[1]; Uslov_Stat_Point[2]; Uslov_Stat_Point[3]; Uslov_Stat_Point[4]; Uslov_Stat_Point[5];Uslov_Stat_Point[6];

Далее с помощью достаточного признака условного экстремума выясняем, является ли точкой условного экстремума. Для этого построим квадратичную форму второго дифференциала для функции Лагранжа в точке :

,

где приращения переменных связаны соотношениями

или в обозначениях Maple

(связь между найдем, решив соответствующую систему уравнений).

[> d2Ldx1dx1:=diff(L,x[1]$2); d2Ldx2dx2:=diff(L,x[2]$2); d2Ldx3dx3:=diff(L,x[3]$2); d2Ldx1dx2:=diff(L,x[1],x[2]); d2Ldx1dx3:=diff(L,x[1],x[3]); d2Ldx2dx3:=diff(L,x[2],x[3]); [> a[1,1]:=diff(phi[1],x[1]); a[1,2]:=diff(phi[1],x[2]); a[1,3]:=diff(phi[1],x[3]); [> a[2,1]:=diff(phi[2], x[1]); a[2,2]:=diff(phi[2], x[2]); a[2,3]:=diff(phi[2], x[3]); [> eq1:=a[1,1]*dx[1]+a[1,2]*dx[2]+a[1,3]*dx[3]=0; eq2:=a[2,1]*dx[1]+a[2,2]*dx[2]+a[2,3]*dx[3]=0; [> x[1]:=1: x[2]:=1: x[3]:=2: lambda[1]:=1: lambda[2]:=-1: solve({eq1,eq2},{dx[1],dx[2],dx[3]}); [> Forma_Vtorogo_Porydka:=d2Ldx1dx1*dx[1]*dx[1]+ d2Ldx2dx2*dx[2]*dx[2]+d2Ldx3dx3*dx[3]*dx[3]+ 2*d2Ldx1dx2*dx[1]*dx[2]+2*d2Ldx1dx3*dx[1]*dx[3]+ 2*d2Ldx2dx3*dx[2]*dx[3];

Учитывая, что , получаем . Это означает, что есть точка максимума для функции , где переменные удовлетворяют двум уравнениям связи

 

§ 3. Описание пакета LinearAlgebra

В Maple имеется пакет LinearAlgebra, ориентированный на решение задач линейной (матричной) алгебры. Он загружается соответствующей командой:

[> with(LinearAlgebra);

После выполнения этих команд система выводит на экран список процедур и функций, которыми располагает пакет LinearAlgebra.

Пакет LinearAlgebra является более мощным и совершенным по сравнению с linalg (в ранних версиях программы). Он предназначен для работы с матрицами и векторами больших размеров. Самым простым образом матрицу размером в пакете LinearAlgebra можно сформировать при помощи команды

[> Matrix(m, n, [[a[1,1],…,a[1,n]],…,[a[m,1],…,a[m,n]]]);

Приведем в табл. 3.1 назначение наиболее часто применимых процедур и функций пакета LinearAlgebra. Более полную информацию о каждой процедуре или функции можно узнать в справке, или набрав команду

[> help(имя_процедуры);

Таблица 3.1.

Название процедуры, функции	Назначение процедуры, функции
Basis	Определяет базис для векторного пространства, заданного системой векторов
CharacteristicMatrix	Создает для квадратной матрицы ее характеристическую матрицу
CharacteristicPolynomial	Создает для квадратной матрицы ее характеристический многочлен
Determinant	Вычисляет для квадратной матрицы ее определитель
DiagonalMatrix	Создает диагональную матрицу
Eigenvalues	Вычисляет для квадратной матрицы ее собственные значения (собственные числа)
Eigenvectors	Вычисляет для квадратной матрицы ее собственные векторы (рекомендуется использовать вместе с процедурой Eigenvalues)
LinearSolve	Решает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в матричной форме
MatrixAdd	Процедура сложения двух матриц
Matrixlnverse	Процедура нахождения обратной матрицы
MatrixMatrixMultiply	Процедура произведения двух матриц
MatrixNorm	Функция вычисления нормы матрицы
MatrixScalarMultiply	Процедура умножения матрицы на скаляр
MatrixVectorMultiply	Процедура умножения матрицы на вектор
Minor	Вычисляет минор матрицы
Normalize	Нормализует вектор
NullSpace	Возвращает нуль-пространство (ядро) матрицы
Rank	Вычисляет ранг матрицы
SylvesterMatrix	Конструирует матрицу Сильвестра из многочленов
Transpose	Вычисляет матрицу, транспонированную к данной

Приведем примеры решения наиболее часто встречающихся задач линейной алгебры (исследование систем линейных алгебраических уравнений на совместность, вычисление собственных векторов и чисел матриц).

Пример 3.1. Исследовать СЛАУ с параметром (СЛАУ задана своей расширенной матрицей) и решить в каждом случае:

.

Ниже приведен текст рабочего листа по решению данной задачи (с описаниями по ходу выполнения команд).

[> restart; with(LinearAlgebra): /задаем вектор-столбцы основной матрицы/ [> a1:=Vector([2,1,3]); a2:=Vector([lambda+1,lambda,-3]); a3:=Vector([lambda-2,-3,-7]); /задаем основную матрицу и вектор-столбец свободных коэффициентов системы/ [> A:=Matrix(3,3,[a1,a2,a3]); B:=Vector([3,lambda+2,3]); /выводим определитель основной матрицы системы, решение системы в матричном виде (при значениях, в которых определитель основной матрицы не равен нулю)/ [> Delta:=Determinant(A); X:=LinearSolve(A,B); /вычисляем значения параметра , при котором определитель обращается в нуль/ [> Korni:=solve(Determinant(A)=0); [> lambda:=Korni[1]; X:=LinearSolve(A,B); Error,(in LinearAlgebra:-LA_Main:-LinearSolve) inconsistent system /Maple предупреждает, что СЛАУ при данном значении параметра несовместна/ [> lambda:=Korni[2]; X:=LinearSolve(A,B); /СЛАУ имеет бесконечное множество решений при этом значении параметра /

Пример 3.2. Найти собственные числа и соответственные собственные векторы матрицы

.

Текст рабочего листа по решению задачи имеет вид:

 

 

[> restart; with(LinearAlgebra): [> A:=Matrix(3,3,[[3,-6,9],[1,-2,3],[-3,6,-9]]); /задание исходной матрицы/ [> Add(A,-lambda): p(lambda):=Determinant(Add(A,-lambda)); /составление характеристического многочлена матрицы/ [> solve(p(lambda)=0,{lambda}); /вычисление собственных чисел матрицы/ [> v:=Eigenvalues(A); F:=Eigenvectors(A); /вычисление собственных чисел и собственных векторов матрицы с помощью процедуры Eigenvectors: первый столбец v – собственные числа матрицы, вторая матрица F содержит соответствующие собственные векторы матрицы, они расположены по столбцам!)/

 

§ 4. Описание пакета Optimization

Пакет Optimization, входящий в состав Maple, предназначен для решения оптимизационных задач. Он загружается в память с помощью команды

[> with(Optimization);

Как видно, в состав этого пакета входят 8 процедур и функций. Описание наиболее важных из них приведено в табл. 4.1.

Таблица 4.1.

Название процедуры, функции	Назначение процедуры, функции
Interactive	Решение оптимизационной задачи с выводом процесса решения в интерактивном виде
LPSolve	Решение задачи линейного программирования. Процедура равносильна решению задачи с использованием пакета simplex(см. §5)
Maximize	Процедура вычисления максимума целевой функции
Minimize	Процедура вычисления минимума целевой функции
NLPSolve	Решение задачи нелинейного программирования
QPSolve	Решение задачи квадратичного программирования

Пусть даны целевая функция переменной ( – управляющие переменные, ) и система из ограничений, выраженных неравенствами (равенствами)

(4.1)

Ниже приведены варианты использования процедуры Maximize при решении различных оптимизационных задач:

[> Maximize(object_function);

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при любых значениях управляющих переменных (решается задача на безусловный экстремум: , );

[> Maximize(object_function, { constr});

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задача на условный экстремум: , , );

[> Maximize(object_function, { constr}, assume=nonnegative);

процедура нахождения наибольшего значения целевой функции при выполнении системы ограничений {constr} (решается задача на условный экстремум: , , ).

Здесь object_function – целевая функция , {constr} – список ограничений вида (4.1), параметр assume=nonnegative означает, что задача решается в области неотрицательных значений управляющих переменных.

Процедура NLPSolve во многих случаях описывается одним из следующих способов:

[> NLPSolve(object_function, initialpoint={x[1]=a1, x[2]=a2,

…, x[n]=an}, maximize );