Теорема Котельникова-Шеннона




Лекция 3 Восстановление дискретного сигнала

 

 

Наша цель - найти необходимые условия, при которых сигнал может быть восстановлен по дискретной выборке

Прежде всего, отметим часто часто используемый факт:

Преобразование Фурье от последовательности

Пусть имеется сигнал , и выбран шаг дискретизации . Функция заменяется последовательностью .

Определение. Преобразованием Фурье от последовательности называется функция

(1)

Отметим, что функция является периодической. Часто ради простоты обозначений полагают , и в этом случае период функции равен 1. Это принципиальное различие между преобразованиями Фурье от функции и последовательности. В то же время, оба преобразования тесно связаны. Положим . Тогда

, (2)

то есть является преобразованием Фурье от произведения двух функций, из которых одна - обобщенная функция. Согласно общей теории, преобразование Фурье от произведения двух функций равно свертке образов сомножителей. Здесь мы отступаем от строгого изложения, поскольку уже справедливость (2) требует обоснования. Для упрощения обозначений положим . Найдем . Снова положим =

. Обратим внимание на то, что это периодическая функция с периодом 1, представленная суммой геометрической прогрессии. Имеем:

. Умножим числитель и знаменатель на . Получим В окрестности 0 . стремятся при к

. Таким образом, в окрестности 0 . В силу периодичности, имеем окончательный результат: . Для произвольного можем написать формулу

(3)

Связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Частота Найквиста.

Используя формулы (2) и (3) и, предполагая верным утверждение о преобразовании Фурье от произведения функций, получаем:

, где , откуда вытекает

(4)

Эта формула устанавливает связь между непрерывным и дискретным преобразованиями Фурье. Как и следовало ожидать, имеет период , что согласуется с (1).

Предположим, что спектр исходного сигнала ограничен: для некоторого . Выберем таким образом, чтобы выполнялось неравенство

(5)

В этом случае функция однозначно определяется функцией . Значение называется частотой выборки Найквиста. Если частота выборки больше указанной величины, спектр непрерывного сигнала может быть восстановлен по спектру дискретного. Позже будет показано, что и сам непрерывный сигнал восстанавливается по дискретному.

Теорема Котельникова-Шеннона

Эта теорема уточняет результат предыдущего пункта.

Если исходный сигнал имеет ограниченный спектр и выполнено условие (5), то непрерывный сигнал можно восстановить по дискретному.

Доказательство. Пусть спектр сигнала находится в интервале . Выберем произвольное . Тогда . Функцию, заданную на конечном интервале, можно разложить в ряд Фурье: , где . Отсюда следует, что . Теперь . Положив . Получим

. (6)

Замечание. Обратим внимание, что в (5) должно выполняться строгое неравенство, если мы хотим, чтобы утверждение оставалось верным и для сигналов с преобразованием Фурье в виде обобщенной функции. В качестве примера рассмотрим . Спектр сигнала сосредоточен на интервале . Положим , тогда , но последовательность оказывается нулевой. То есть непрерывный сигнал не удается восстановить по дискретным значениям. Если же , то можно воспользоваться формулой (6).

 

 

Рекомендуемая литература:

 

1. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов: курс лекций. – Красноярск: СФУ, 2008.

2. Глинченко, А. С. Цифровая обработка сигналов: уч. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2005. – 482 с.

3. Глинченко, А. С. Лабораторный практикум по цифровой обработке сигналов: учеб. пособие. – Красноярск: СФУ, 2008.

6. Глинченко, А. С., Голенок А. И. Принципы организации и программирования сигнальных процессоров семейства ADSP-21XX: учеб.-метод. пособие. – Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2000. – 88 с.

7. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. пособие. – 2-е изд. – СПб.: Питер, 2006. – 751 с.

8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций /
А. И. Солонина, Д. А. Улахович., С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 768с.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-05-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: