Рядом динамики называют ряд статистических показателей, характеризующих изменение явления во времени. Целью данного приёма является определение колеблемости явления во времени, выявление основной тенденции (тренда).
В качестве показателя, подлежащего анализу подлежит группировочный признак – удой молока от 1 коровы.
Простейшими показателями анализа, которые используются при решении ряда задач, в первую очередь при измерении скорости изменения уровня ряда динамики, являются абсолютный рост, темпы роста и прироста, а также абсолютное значение одного процента прироста. Расчёт этих показателей основан на сравнении между собой уровней ряда динамики. Если каждый уровень сравнивается с предыдущим, то полученные при этом показатели называются цепными. Если все уровни сравниваются с одним и тем же уровнем, выступающим как постоянная база сравнения, то полученные при этом показатели называются базисными.
Рассчитаем по первым десяти периодам следующие показатели рядов динамики: абсолютные приросты, коэффициенты роста, темпы роста и прироста. Для расчета этих показателей воспользуемся цепным и базисным способом. На основании полученных данных вычислим средние показатели динамики.
Абсолютные приросты рассчитываются:
а) цепным способом (Ац):
Ац1 = у1-у0, Ац2=у2-у1 и т.д.
б) базисным способом (Аб)
Аб1 = у1-у0, Аб2 = у2-у0 и т.д.
Коэффициенты роста рассчитываются:
а) цепным способом (Крц):
К1ц= 
, К2ц= 
и т.д.
б) базисным способом (Крб)
К1б= , К2б= 
и т.д.
Темпы роста рассчитываются:
а) цепным способом (Трц)
Трц1 = Крц1 * 100, Трц2 = Крц2 * 100
б) базисным способом (Трб)
Трб1 = Крб1 * 100, Трб2 = Крб2 * 100
Темпы прироста рссчитываются:
а) цепным способом (Тпрц) = Трц - 100
б) базисным способом (Тпрб) = Трб-100
Значение 1% прироста (Зпр) находится как сотая часть предыдущего уровня:
Рассчитанные показатели ряда динамики, оформив их в таблицу 10.
Таблица 10
Показатели динамики удоя молока от 1 коровы
| Наименование показателей | Условное обозначение | Периоды | Средние значения | |||||||||
| 22,00 | 23,23 | 21,88 | 28,10 | 23,17 | 26,05 | 21,13 | 22,78 | 23,35 | 22,83 | 23,61 | ||
| Абсолютный прирост, ц | Аб | 1,23 | -0,12 | 6,10 | 1,17 | 4,05 | -0,87 | 0,78 | 1,35 | 0,83 | ||
| Ац | 1,23 | -1,35 | 6,22 | -4,93 | 2,89 | -4,93 | 1,65 | 0,58 | -0,52 | 0,09 | ||
| Коэффициент роста | Крб | 1,06 | 0,99 | 1,28 | 1,05 | 1,18 | 0,96 | 1,04 | 1,06 | 1,04 | ||
| Крц | 1,06 | 0,94 | 1,28 | 0,82 | 1,12 | 0,81 | 1,08 | 1,03 | 0,98 | 1,004 | ||
| Темпы роста, % | Трб | 105,58 | 99,46 | 127,72 | 105,30 | 118,43 | 96,03 | 103,53 | 106,15 | 103,79 | ||
| Трц | 105,58 | 94,20 | 128,41 | 82,45 | 112,46 | 81,09 | 107,80 | 102,53 | 97,77 | 100,41 | ||
| Темпы прироста, % | Тпрб | 5,58 | -0,54 | 27,72 | 5,30 | 18,43 | -3,97 | 3,53 | 6,15 | 3,79 | ||
| Тпрц | 5,58 | -5,80 | 28,41 | -17,55 | 12,46 | -18,91 | 7,80 | 2,53 | -2,23 | 0,41 | ||
| Абсолютное значение 1% прироста | Зпр | 0,22 | 0,23 | 0,22 | 0,28 | 0,23 | 0,26 | 0,21 | 0,23 | 0,23 | 0,22 |
Средний надой за 10 периодов составляет 23,61 ц. В среднем за 10 периодов наблюдается постоянное прирост удоя молока на 0,09 ц. Его уровень составлял в среднем 100,4 % от предыдущего. То есть за каждый период удой увеличивался на 0,4 %. Значение 1% прироста показывает, что в 1% изучаемого уровня содержится 0,22 ц. удоя молока.
Произведём выравнивание динамического ряда с целью выявления основной тенденции (тренда), используя выравнивание по средней скользящей (трёхлетней). (Таблица 11.)
Таблица 11
Исходные данные и результаты скользящей средней
производительности коров
| №№ предприятий | Продуктивность коров, ц (Y1) | Сумма по скользящим 3-ём предприятиям | Средние скользящие |
| 22,0 | х | х | |
| 23,2 | 67,1 | 22,4 | |
| 21,9 | 73,2 | 24,4 | |
| 28,1 | 73,1 | 24,4 | |
| 23,2 | 77,3 | 25,8 | |
| 26,1 | 70,3 | 23,4 | |
| 21,1 | 70,0 | 23,3 | |
| 22,8 | 67,3 | 22,4 | |
| 23,4 | 69,0 | 23,0 | |
| 22,8 | 65,2 | 21,7 | |
| 19,0 | 63,7 | 21,2 | |
| 21,9 | 62,8 | 20,9 | |
| 21,9 | 66,0 | 22,0 | |
| 22,2 | 66,5 | 22,2 | |
| 22,4 | 65,7 | 21,9 | |
| 21,1 | 62,6 | 20,9 | |
| 19,2 | 58,9 | 19,6 | |
| 18,6 | 60,2 | 20,1 | |
| 22,5 | 62,1 | 20,7 | |
| 21,0 | 66,3 | 22,1 | |
| 22,9 | 63,4 | 21,1 | |
| 19,5 | 66,1 | 22,0 | |
| 23,7 | 67,8 | 22,6 | |
| 24,6 | 70,2 | 23,4 | |
| 22,0 | 73,4 | 24,5 | |
| 26,9 | 70,3 | 23,4 | |
| 21,4 | 76,4 | 25,5 | |
| 28,1 | 71,4 | 23,8 | |
| 21,9 | 72,8 | 24,3 | |
| 22,8 | х | х |
Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определённого числа первых по порядку уровней ряда, затем средний уровень из такого же числа уровней, начиная со второго, далее начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчётах среднего уровня как бы скользят по временному ряду от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий. Каждое звено скользящей средней – это средний уровень за соответствующий период.
Из данных таблицы видно, что в первые 4 года наблюдается рост, затем до 16 года скачкообразное падение производительности, а после этого до 26 года вновь скачкообразный, но рост.
Применим аналитическое выравнивание. Исходя из предыдущих выводов, логично предположить, что для проявления тенденции можно использовать уравнение прямой. Но использование параболы второго порядка также возможно. Проверим оба варианта. Общий вид уравнений:
y = a0 + a1*t — уравнение прямой
y = a0 + a1*t + a2*t2.— уравнение параболы второго порядка
Осуществим выравнивание по уравнению прямой и по параболе второго порядка, сопоставим результаты и, найдя остаточные средние квадратическое отклонения, узнаем, какое из этих уравнений полнее отражает характер изменения удоя молока от 1 коровы.
Определим параметры уравнения прямой способом наименьших квадратов:
∑yi = na0 + a1∑ti;
∑yi t = a0∑ti +a1∑t2i.
Для этого построим вспомогательную таблицу 12. Для упрощения расчётов воспользуемся способом отсчёта от условного начала. Система уравнений упрощается, поскольку ∑t=0.
Столбцы ỹt (y-ỹt)2 рассчитывались после нахождения параметров уравнения прямой.
Таблица 12
Исходные данные и результаты выравнивания ряда динамики
производительности коров по прямой
| №№ предприятий | Продуктивность коров, ц yt | Обоначение периода t | t2 | y*t | ỹt | (y-ỹt)2 |
| 22,0 | -29 | -638,00 | 22,6 | 0,33 | ||
| 23,2 | -27 | -627,14 | 22,6 | 0,42 | ||
| 21,9 | -25 | -547,01 | 22,6 | 0,49 | ||
| 28,1 | -23 | -646,24 | 22,6 | 30,45 | ||
| 23,2 | -21 | -486,50 | 22,6 | 0,34 | ||
| 26,1 | -19 | -495,03 | 22,6 | 12,05 | ||
| 21,1 | -17 | -359,17 | 22,6 | 2,12 | ||
| 22,8 | -15 | -341,64 | 22,6 | 0,04 | ||
| 23,4 | -13 | -303,60 | 22,6 | 0,59 | ||
| 22,8 | -11 | -251,17 | 22,6 | 0,06 | ||
| 19,0 | -9 | -171,00 | 22,6 | 12,89 | ||
| 21,9 | -7 | -153,07 | 22,6 | 0,53 | ||
| 21,9 | -5 | -109,63 | 22,6 | 0,45 | ||
| 22,2 | -3 | -66,74 | 22,6 | 0,12 | ||
| 22,4 | -1 | -22,35 | 22,6 | 0,06 | ||
| 21,1 | 21,09 | 22,6 | 2,27 | |||
| 19,2 | 57,48 | 22,6 | 11,84 | |||
| 18,6 | 93,15 | 22,6 | 15,79 | |||
| 22,5 | 157,15 | 22,6 | 0,02 | |||
| 21,0 | 189,00 | 22,6 | 2,58 | |||
| 22,9 | 251,54 | 22,6 | 0,07 | |||
| 19,5 | 253,92 | 22,6 | 9,47 | |||
| 23,7 | 355,19 | 22,6 | 1,14 | |||
| 24,6 | 417,50 | 22,6 | 3,79 | |||
| 22,0 | 417,23 | 22,6 | 0,43 | |||
| 26,9 | 564,18 | 22,6 | 18,06 | |||
| 21,4 | 493,04 | 22,6 | 1,39 | |||
| 28,1 | 703,25 | 22,6 | 30,37 | |||
| 21,9 | 590,06 | 22,6 | 0,59 | |||
| 22,8 | 661,97 | 22,6 | 0,04 | |||
| Итого | 677,9 | 7,46 | 677,9461 | 158,79 |
∑yi = na0 + a1∑ti;
∑yi t = a0∑ti +a1∑t2i.
677,9=30* a0+ a1*0
7,46= a0*0+ a1*8990
а1 = 7,46/8990 = 0,00083
а0 = 677,9/30 = 22,6
Уравнение прямой имеет вид: у=22,6 + 0,00083*t
Коэффициент а1 характеризует средний рост удоя молока от 1 коровы.
Используем для выравнивания уравнение параболы второго порядка yi = a0 + a1t + a2t2. Для нахождения параметров а0, а1, а2 применим систему нормальных уравнений:
∑yi = na0 + a1∑t +a2∑t2
∑yit = a0∑t + a1∑t2 +a2∑t3
∑yit2 =a0∑t2 + a1∑t3+ a2∑t4
Подготовим данные для выравнивания ряда динамики произ-водительности коров по уравнению параболы второго порядка (таблица 13).
Таблица 13
Исходные данные и результаты выравнивания ряда динамики
производительности коров по уравнению параболы второго порядка
| №№ предприятий | Продуктивность коров, ц yt | Обозначение периода t | t^2 | y*t | y*t^2 | t^4 | ỹt | (y-ỹt)^2 |
| 22,0 | -29 | -638,0 | 18502,0 | 24,5 | 6,1 | |||
| 23,2 | -27 | -627,1 | 16932,7 | 24,1 | 0,7 | |||
| 21,9 | -25 | -547,0 | 13675,2 | 23,7 | 3,4 | |||
| 28,1 | -23 | -646,2 | 14863,5 | 23,4 | 22,2 | |||
| 23,2 | -21 | -486,5 | 10216,5 | 23,1 | 0,0 | |||
| 26,1 | -19 | -495,0 | 9405,5 | 22,8 | 10,6 | |||
| 21,1 | -17 | -359,2 | 6105,9 | 22,5 | 2,0 | |||
| 22,8 | -15 | -341,6 | 5124,7 | 22,3 | 0,2 | |||
| 23,4 | -13 | -303,6 | 3946,8 | 22,1 | 1,5 | |||
| 22,8 | -11 | -251,2 | 2762,8 | 22,0 | 0,8 | |||
| 19,0 | -9 | -171,0 | 1539,0 | 21,8 | 8,0 | |||
| 21,9 | -7 | -153,1 | 1071,5 | 21,7 | 0,0 | |||
| 21,9 | -5 | -109,6 | 548,1 | 21,6 | 0,1 | |||
| 22,2 | -3 | -66,7 | 200,2 | 21,6 | 0,4 | |||
| 22,4 | -1 | -22,4 | 22,4 | 21,5 | 0,6 | |||
| 21,1 | 21,1 | 21,1 | 21,6 | 0,2 | ||||
| 19,2 | 57,5 | 172,4 | 21,6 | 5,9 | ||||
| 18,6 | 93,1 | 465,7 | 21,6 | 9,1 | ||||
| 22,5 | 157,2 | 1100,1 | 21,7 | 0,5 | ||||
| 21,0 | 189,0 | 1701,0 | 21,8 | 0,7 | ||||
| 22,9 | 251,5 | 2766,9 | 22,0 | 0,8 | ||||
| 19,5 | 253,9 | 3301,0 | 22,2 | 6,9 | ||||
| 23,7 | 355,2 | 5327,8 | 22,3 | 1,8 | ||||
| 24,6 | 417,5 | 7097,5 | 22,6 | 3,9 | ||||
| 22,0 | 417,2 | 7927,4 | 22,8 | 0,8 | ||||
| 26,9 | 564,2 | 11847,8 | 23,1 | 14,1 | ||||
| 21,4 | 493,0 | 11339,8 | 23,4 | 3,9 | ||||
| 28,1 | 703,3 | 17581,3 | 23,8 | 19,1 | ||||
| 21,9 | 590,1 | 15931,6 | 24,1 | 5,2 | ||||
| 22,8 | 662,0 | 19197,0 | 24,5 | 2,9 | ||||
| Итого | 677,9 | 7,5 | 210695,3 | 677,9 | 132,3 |
677,9 = 30*a0 + 0*a1 +8990*a2
7,5 = 0*a0 + 8990*a1 +0*a2
210695,3 =8990*a0 + 0*a1+ 4842014*a2
Решив систему уравнений получаем параметры:
a0 = 21,55
a1 = 0,00083
a2 = 0,0035
Уравнение параболы имеет вид: у=21,55 + 0,00083*t+0.0035*t2
Параметр уравнения а1 = 0,00083 ц показывает средний рост удоя молока от одной коровы за год; а2 = 0,0035 ц – степень нарастания роста, то есть ускорение роста.
А теперь определим, какое из этих уравнений наиболее точно отражает характер изменения удоя во времени.
σ пр = 
= 
= 2,3
σ пар = 
=2,1
Остаточное среднее квадратическое отклонение, полученное при выравнивании по параболе меньше, чем среднее квадратическое отклонение при выравнивании по прямой. Следовательно, парабола более точно воспроизводит характер изменения удоя молока от 1 коровы за анализируемый период. Это хорошо иллюстрирует график.
Рис.4. Выравнивание ряда динамики
Фактические значения удоя молока от одной коровы имеют значительную колеблемость за указанный период (от 18,63 ц до 28,13 ц). На основании тренда можно сказать, что на данном временном интервале наблюдается ускорение тенденции к росту уровня.