Рассмотрим сигнал как значения непрерывной функции времени 
. Очевидно, что 
- локализована, т. е. f Î 
.
Если конструировать базис функционального пространства с помощью непрерывных масштабных преобразований и переносов вейвлета 
с произвольными значениями базисных параметров – масштабного коэффициента a и параметра сдвига b:
, a,b Î R, y Î ,
то на его основе можно записать интегральное вейвлет-преобразование
Результатом вейвлет-преобразования сигнала является двумерный массив амплитуд - значений коэффициентов W(a,b) [102-104, 106]. Распределение этих значений в пространстве (a,b) = (временной масштаб, временная локализация) дает информацию об эволюции относительного вклада компонент разного масштаба во времени и называется вейвлет-спектром.
Введя аналог частоты 
, где j и k – целые числа, с помощью дискретных масштабных преобразований 
и сдвигов 
мы можем описать все частоты и покрыть всю ось, имея единственный базисный вейвлет .
Если вейвлет 
имеет единичную норму, то все вейвлеты семейства 
вида
также нормированы на единицу, т. е.
Вейвлет называется ортогональным, если семейство представляет собой ортонормированный базис функционального пространства .
Вейвлеты покрывают все пространство, используя смещение по-разному сжатых вариантов единственной функции, следовательно, любую функцию из можно разложить в вейвлет-ряд
Признаки вейвлета
Для практического применения важно знать признаки, которыми обязательно должна обладать функция, чтобы быть вейвлетом:
Локализация. Вейвлет должен быть локализован и во временном пространстве, и по частоте.
Нулевое среднее:
Часто для приложений оказывается необходимым, чтобы первые 
моментов были равны 0:
Такой вейвлет называется вейвлетом -го порядка. Обладающие большим числом нулевых моментов вейвлеты позволяют, игнорируя наиболее регулярные полиномиальные составляющие сигнала, анализировать мелкомасштабные флуктуации и особенности высокого порядка.
Ограниченность:
Опишем сигнал в терминах вейвлет-преобразования при помощи его средних (по некоторым интервалам) значений и изменений вокруг этих средних (флуктуациями). Это позволит вскрыть флуктуационную структуру сигнала на разных масштабах, что приводит к понятию многомасштабного анализа.
Многомасштабный анализ
Многомасштабное приближение представляет собой нарастающую последовательность 
замкнутых линейных пространств со следующими свойствами:
1. 
всюду плотно в ;
2. 
и 
;
3. и 
;
4. 
такая функция 
что последовательность 
является ортонормальным базисом Рисса в пространстве 
.
С учетом многомасштабного анализа разложение функции в вейвлет-ряд имеет вид:
(2.14)
при этом 
является уровнем детализации, 
- коэффициенты вейвлет-разложения, 
, 
- скейлинг-функция или масштабная функция, , 
- базисный или «материнский» вейвлет. Эти коэффициенты зачастую называют суммами (
) и разностями (
), связывая со средними значениями и флуктуациями соответственно.
Возвращаясь к вейвлетам, отметим, что 
образуют ортонормированный базис 
; 
образуют ортонормированный базис в 
, где - ортогональное дополнение в 
. Полный набор 
и при всех 
образуют ортонормированный базис в .
Вейвлет-коэффициенты 
и 
можно вычислить по формулам:
(2.15)
(2.16)
Первая сумма в (1) со скейлинг-функциями 
содержит средние значения по диадным интервалам 
(усреднение проводится с весовыми функциями , отличными от нуля только на 
-том отрезке). Второй член содержит все флуктуации по данным интервалам. Эти флуктуации проистекают из всех меньших интервалов, заключенных внутри данного и соответствующих большим значениям параметра масштабирования . Этот член фокусирует наше внимание на все более тонких деталях изучаемого сигнала. На любом уровне детализации общее число членов в разложении остается неизменным и равным 
, где 
- начальный уровень с наименьшими интервалами, число членов в каждой сумме зависит от выбранного уровня разрешения. На -том уровне имеется 
-коэффициентов и 
- коэффициентов.
Представление (2.14) взаимно однозначно для любой функции из , т.е. коэффициенты преобразования определяются единственным образом для заданного вейвлет-базиса и функция может быть полностью восстановлена по коэффициентам разложения. На самом детальном уровне остаются только 
коэффициенты и получается представление скейлинг-функцией, конечное представление улавливает все флуктуации, имеющиеся в сигнале. При практическом анализе сигналов скейлинг- и вейвлет-функции называют широкополосными и узко-полосными фильтрами, т. к. они отфильтровывают компоненты сигнала на больших и малых масштабах.
Вейвлеты Добеши
Свяжем функцию 
с ее сдвинутыми и сжатыми модификациями. Простейшее линейное соотношение с числом коэффициентов 
можно записать в виде:
Величина масштабирующего множителя определяет размер ячеек выбранной решетки, число 
- число коэффициентов 
и длину области задания вейвлета. Для ортонормированных базисов
Если известна, тогда можно построить базисный вейвлет по формуле:
, где 
. Связь 
и рассмотрим ниже.
В практических приложениях используются только вейвлет-коэффициенты без вычисления конкретной формы вейвлета.
Общие свойства скейлинг-функций и вейвлетов однозначно определяют коэффициенты в рамках многомасштабного анализа.
Из свойства ортогональности масштабных функций:
(2.17)
Из ортогональности вейвлетов масштабным функциям:
Отсюда получим
(2.18)
т. е. однозначно определяют .
Условие ортогональности вейвлетов полиномам до степени 
:
(2.19)
Вообще говоря, чем больше моментов равны нулю, тем больше вейвлет-коэффициентов для гладких функций близки к нулю. Очевидно, число нулевых моментов важно для достижения более сильного сжатия сигнала.
Условие нормировки:
(2.20)
Набор всех возможностей (2.17) - (2.20) задает полную систему вейвлетов данного порядка из известного семейства ортонормальных вейвлетов Добеши. Вейвлеты Добеши с компактным носителем определяются однозначно для данного многомасштабного анализа с точностью до сдвига аргумента (смещения).
После того, как выбран определенный вейвлет, т. е. коэффициенты 
и 
, можно проводить вейвлет-преобразование сигнала , поскольку задан ортонормальный вейвлет-базис. Коэффициенты и из разложения (2.14) можно вычислить по формулам (2,3). При этом компьютерные расчеты занимают довольно длительное время, поэтому на практике их значения находятся с помощью быстрого вейвлет-преобразования.