РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
План:
1. Значение случайных процессов в технике, экономике, науке и природе
2. Основные сведения из теории вероятности
3. Понятие случайной функции (случайного процесса)
4. Характеристики случайной функции
5. Понятие стационарного случайного процесса
ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В ТЕХНИКЕ, ЭКОНОМИКЕ, НАУКЕ И ПРИРОДЕ
Теория случайных процессов занимается моделированием и прогнозированием случайных явлений. В настоящее время это очень востребовано. На основе теории случайных процессов появились новые математические направления, например, теория временных рядов, часто используемая в банковских и финансовых операциях.
Люди обращаются к прогнозированию тогда, когда отсутствует явная причинно-следственная связь. Т. е. иногда мы не знаем причину, но можем уловить некую закономерность в повторяющихся процессах.
Следующее направление, основанное на теории случайных процессов, – имитационное моделирование. В 60-х годах компания 60-х годах автомобильная компания General Motors использовала имитационное моделирование для испытаний работы двигателей. Системы имитационного моделирования также используют для перевода одного закона распределения случайной величины в другой.
При изучении изменения какого-либо показателя во времени рассматривается временной ряд. Временной ряд – это последовательные моменты времени и значения показателя, которые соответствуют этим моментам времени:
..
..
..
Графическое изображение временного ряда может выглядеть так:
– это уровни временного ряда. Они складываются из нескольких компонентов:
– аддитивное представление
– мультипликативные представление
где:
– влияние тренда
– влияние сезонного компонента
– влияние циклического компонента
– влияния случайной компоненты
Тренд – это долговременная составляющая, определяющая какую-либо тенденцию.
Сезонная компонента – это колебания в течение года. Зимой затраты у всех предприятиях так или иначе выше, чем летом.
Циклическая компонента – это очень длительные колебания. Например, солнечная активность и большие экономические циклы. Т. е. десятки лет и больше.
Случайная компонента – травмы, катаклизмы, незапланированные изменения обстановки.
При прогнозировании принята следующая последовательность действий:
1. Определение наличия тренда.
2. Определяем форму тренда. Как правило, используют метод наименьших квадратов
3. Вычитаем тренд из общих колебаний. Убираем из общей волны волну тренда. Остаются только , , . В этот момент временной ряд представляет собой последовательность повторяющихся колебаний.
4. Выделение циклической и сезонной составляющей, определяют закономерность, которая их формирует.
5. Удаление из общих колебаний циклической и сезонной составляющей. Если тренд, сезонные и циклические составляющие были определены верно, то оставшийся временной ряд не должен содержать никакой закономерности и должен представлять собой “белый шум”.
6. Если существование “белого шума” доказано, то в полученное выражение для тренда, сезонных и циклических составляющих подставляется значение времени и составляется прогноз.
Рассмотрим ещё одно применение теории случайных процессов. Предположим, мы открываем магазин. Первая проблема – изучаем, будет ли у нас поток посетителей. Предположим, кто-то к нам приходит. Мы нанимаем продавцов. Продавцы работают по-разному, а качество обслуживания сильно влияет на ход продаж. Существует теория очередей, основанная на теории случайных процессов, которая поможет определить затратность и пропускную способность получившейся системы.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Случайная величина – это величина, которая может принимать то или иное значение в зависимости от исхода события. Например, число попаданий при десяти выстрелов, количество чипсин в двухсотграммовом пакете. Если совокупность значений случайной величины счётно или конечно, то это дискретная случайная величина, в противном случае – это непрерывная случайная величина. Например, время ожидания автобуса – оно может быть 5 минут 37 секунд 14 миллисекунд, а может автобус вообще не придёт. Иными словами, непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая принимает любое значение из некоторого интервала.
Поведение случайной величины определяется законом распределения.
Вид закона распределения по-разному записывается для дискретной и непрерывной случайной величины. Если случайная величина дискретна, то её поведение можно описать рядом распределения:
| 
| 
| 
| … | 
|
| 
| 
| 
| … | 
|
где – это значение величины, а – это вероятность его появления.
Здесь 
, как мы все прекрасно помним J
– функция распределения случайной величины.
– плотность распределения или плотность вероятности.
Вероятность того, что случайная величина попадает в какой-то интервал, может быть вычислена по следующей формуле:
Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. Числовые характеристики – это некие инварианты, которые связанные со случайной величиной.
| Дискретные случайные величины | Непрерывные случайные величины | |
| 
| |
| 
| |
| 
|
| Повторить свойства случайных величин. |