построение картины плоскопараллельного поля. 5 глава

152 132

что: ∫ Hdl +∫ Hdl=-I или ∫ Hdl = -I +∫ Hdl Следова-

132 251 132 152

тельно, для того чтобы разность магнитных потенциалов между двумя
точками магнитного поля не зависела от пути, надо наложить запрет на
прохождение через контур (виток) с током, мысленно натянув на этот.
контур некоторую пленку. При прохождении через эту пленку φ_м
изменяется скачком на величину тока в контуре.

Следует различать понятия «падение магнитного напряжения» и «магнитное напряжение». Первое определяется только линейным инте- гралом от H на dl по выбранному пути. Второе — не только этим

-

интегралом, но и м. д. с, имеющейся на пути (см. стр. 360). Здесь имеется полная аналогия с понятиями «падение напряжения» и «напряжение» в электрической цепи,

§ 21.11. Граничные условия. Подобно тому как в электростати­ческом поле ив поле проводящей среды выполнялись определенные граничные условия, в магнитном поле также имеют место аналогич­ные условия:

Условие (21.13) означает, что на границе раздела двух однородных и изотропных сред, различных в магнитном отношении (различные р.), равны тангенциальные составляющие векторов напряженности маг­нитного поля.

Условие (21.14) свидетельствует о равенстве нормальных состав­ляющих векторов магнитных индукций на границе раздела.

Условие (21.13) выводят путем составления линейного интеграла
Hdl по плоскому контуру mnpq (рис. 21.5, б) и приравнивания его
нулю (так как он не охватывает тока). Стороны пр и qm ничтожно
малы по сравнению со сторонами тп и pq. Длину стороны тп и рав­-
ную ей по величине длину стороны pq обозначим через dl. Тогда
Н₁ sin α₁ dl — H₂ sin α₂dl = 0, но Н₁ sin α₁ = H_1t, Н₂ sin α₂ = H_2t,
следовательно Н_1t = H_2t

Условие (21.13) не выполняется, если на поверхности раздела двух сред протекает так называемый поверхностный ток. Под ним понимают ток, протекающий по бесконечно тонкому плоскому про­воднику, помещенному на границе раздела.

В этом случае Н dl будет равняться не нулю, а поверхностному току σdl, который оказался внутри замкнутого контура: Н₁ sin α₁dl — H₂ sin α₂ dl = σdl и в силу этого H_1t — H_2t. = σ. Другими словами, при наличии поверхностного тока с плотно­стью а тангенциальная составляющая напряженности поля терпит разрыв. Как правило, поверхностный ток отсутствует, и условие (21.13) выполняется.

Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индук­ции следует из принципа непрерывности магнитного потока: В dS = 0.

Для того чтобы убедиться в справедливости (21.14), на границе раздела выделим небольшой плоский параллелепипед и подсчитаем потоки вектора B через нижнюю грань (рис. 21.6) — Bn₁ S и верх­нюю B_2n S.

Сумма потоков равна нулю: — B_ln S + B_2n S = 0. Следова­тельно, В_1п = В_2n.

Из (21.13) и (21.14) вытекает соотношение

Оно дает связь между углом падения α₁ и.углом преломления α₂ (см. рис. 21.5, б). Если магнитные силовые линии выходят из среды - большой магнитной проницаемостью, например μ_1а = 10⁴μ₀, в среду малой магнитной проницаемостью, например в воздух μ_2а = μ ₀ то

следовательно, угол α₂ много мньше

угла α₁

Пример 206. Найти угол α₂, под которым лиловые линии выходят в среду с магнитной проницаемостью μ_2а, если угол α₁ = 89°;

μ _1a= 10⁴μ_0, μ _2a = μ₀

Решение. tgα₁= tg89° = 57,29; tg α₂ = μ₂/μ₁ tgα₁ =10 ⁴ tg α₁ = 0,005729; α₂ = 20'.

§ 21.12. Векторный потенциал магнитного поля. Для расчета магнитных полей широко используют векторный потенциал, или век­тор-потенциал магнитного поля. Его обозначают А.Это векторная величина, плавно изменяющаяся от точки к точке, ротор которой ра­вен магнитной индукции:

B= rotA (21.16)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-
потенциала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно
равна нулю.

Известно, что в магнитном поле div B = 0. Подстановка в это
равенство rot А вместо B дает выражение, тождественно равное нулю:
div rot A= 0.

Равенство нулю div rot А можно пояснить с помощью оператора . С этой целью. вместо rot А запишем [ A]. Тогда div rot A = [ A]. Векторное произведение [ A] перпендикулярно и к и к А. Скалярное произведение на [ A], т. е. [ ], равно нулю потому, что равен нулю косинус угла между и [ А].

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то ин­дукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (21.16). В отличие от скаляр­ного магнитного потенциала φ_м, пользоваться которым можно только Для областей, не занятых током (см. § 21.10), векторным потенциалом можно пользоваться как для областей, не занятых током, так и для

областей, занятых,током. В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей: 1) определения магнитной индукции с помощью формулы (21.16); 2) определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур (см. § 21.14).

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плот­ностью тока в этой же точке уравнением Пуассона.

Общее решение их по аналогии с решением уравнения (19.26) записывают так:

§ 21.13. Уравнение Пуассона для вектора-потенциала. Умножим обе части (21.4) на магнитную проницаемость среды μ_а:

μ_а rot H=μ_a

Условимся, что будем иметь дело с полями, которые можно под. разделить на отдельные области, так что магнитные проницаемости п., в каждой отдельной области постоянны. Если р., постоянна, то ее можно подвести под знак ротора:

rotμ_aH = rotB = μ_a . (21.17)

В (21.17) вместо В подставим rot , тогда

rot rotA = μ_a ; (21.18)

Операция взятия ротора от ротора есть по сути дела операция
раскрытия двойного векторного произведения и выполняется так:
rot rot A = [ [ A ]] = grad div А - ²A= μ_a . (21.19)

Из курса математики известно, что двойное векторное произведение раскры­вается следующим образом: [а [b с]] = b (ас) — с(а b).

В данном случае роль векторов а и b играет оператор , а роль вектора с—вектор-потенциал А. Таким образом, [ [ ]= ( A) — A () = grad div — ²A

До сих пор к вектору-потенциалу никаких дополнительных требо­ваний не предъявлялось, если не считать того, что он должен быть функцией, имеющей пространственные производные. Так как A есть расчетная функция, то в магнитном поле постоянного тока ее можно подчинить требованию:

div A =0. (21.20)

Это требование означает, что линии вектора A есть замкнутые
сами на себя линии. С учетом (21.20) уравнение (21.19) приобретает
вид: -

²A= — μ_a . (21.21)

Уравнение (21.21) представляет собой уравнение Пуассона. В от­личие от (19.26), составленного относительно скалярной величины φ, уравнение (21.21)-составлено относительно векторной величины. Вместо A в (21.21) подставим iA_x + jA_y + kА_z и плотность тока заме­ним на i _x +j y +k _z

² iA_X + ²jA_y + ² kА_z = - μ_а i _x - μ_а j y- μ_а k _z

Последнее уравнение разбивается на три уравИения, составленные относительно скалярных величин А_х, А_y, A_z '

²A_x= — μ_{а x} ²A_y= — μ_{а y}

²A_z= — μ_{а z}

 

 

Если (21.22) умножить на i, (21.22а) — на J и (21.226)'— на k и. сложить, то получим

Единицей измерения для A является В с/м.

Формула (21.23) дает общее решение уравнения (21.21). Вектор- потенциал в любой точке поля может быть определен путем вычисления объемного интеграла (21.23). Последний должен быть взят, по всем областям, занятым током.

Несмотря на то что формула (21.23) дает общее решение, пользо­ваться ею в дальнейшем будем редко ввиду того, что взятие интеграла
правой части формулы сопряжено обычно со значительными математи­ческими выкладками..

§ 21.14. Выражение магнитного потока через циркуляцию вектора-потенциала. Магнитный поток, пронизывающий какую-либо поверхность ,

Ф= ВdS (21.24)

s

Так как В = rot A, то Ф = rot A dS.

s

На основании теоремы Стокса поверхностный интеграл может быть
преобразован в линейный:

∫ rot A dS= Adl (21.25)

s
Таким образом,

Ф = Adl (21.26)

Другими словами, для определения магнитного потока, пронизы­вающего некоторую площадь (поверхность) S, необходимо подсчитать Циркуляцию вектора потенциала по замкнутому контуру, на который опирается

поверхность S.

 

 

Определение потока по (21.26) часто имеет преимущества по сравнению с определением потока через магнитную индукцию по (21.24) Соотношением (21.24) можно пользоваться в том случае, когда из вестно значение В в любой точке поверхности S, тогда как для вычисления потока с помощью соотношения (21.26) достаточно знать значение А на контуре и не требуется знание А в точках внутри контура.

Переход от ∫ rot AdS к интегралу Аdl можно пояснить следующим

образом.

Разобьем площадь S на элементарные площадки (рис. 21.7). Заме­ним интеграл суммой и под интегралом вместо rot A подставим в со-

Таким образом, для вычисления ∫rot AdS

s

необходимо найти составляющие циркуляции

вектора А по контурам всех элементарных площадок и затем сложить их. Так как пои

составлении циркуляции обход участков, являющихся смежными между какими-либо двумя соседними площадками, совершается дважды и притом в противоположных направлениях, то составляю­щие циркуляции на всех смежных участках взаимно уничтожаются и остается циркуляция только по периферийному контуру mnpq: Ad l = Ad l

по контуру..

mnpq

Рассмотрим граничные условия для векторного потенциала.

Если к плоскому контуру на границе раздела двух сред (подобно
изображенному на рис. 21.5, б и у которого размер пр 0) применить (21.26) и учесть, что поток через этот контур равен нулю, то получим граничное условие для тангенциальной составляющей вектора А
A_1t = A_2t _

Нормальная составляющая вектора А в постоянном магнитном
поле тоже непрерывна, т. е. А_1п = А_2n. Это следует из того, что для
этого поля div А = 0.

Но для переменного электромагнитного поля div А = - ₂ [см. формулу (26.12)],

поэтому для синусоидального поля при использовании нормировки Лоренца

A_{1n –} A_{2n= - 2}

§ 21.15. Векторный потенциал элемента тока. Определим величину и направление составляющей векторного потенциала А, создаваемой i,протекающим по элементу линейного пробника длиной dl. Пусть расстояние от элемента тока по произвольной точки пространства обозначено через R (рис. 21.8) (R dl). В соответствии с общим выражением

где dS— площадь поперечного сечения проводника.

Следовательно,

dA= (21.27)

Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Пример 207. Вывести формулы для определе­ния A и В в поле кругового витка (рис. 21.9) ра­диусом r₀ с током (, находящегося в плоскости хоу.

Решение. От элемента тока idl (он состав­ляет угол α с осью у) в произвольной точке М, уда­ленной от оси z на расстояние р и на Z от плоско­сти хоу, если полагать, что расстояние R велико по сравнению с линейными размерами поперечного сечения проводника, составляющая векторного потенциала определится формулой (21.27).

Разложив dl на две проекции: dl 1 = dl sin α и dl 2 = dl cos а и учитывая, что dl = rtfla и что си-

Полное значение

На основании.формул (21.16) и (21.7), заменив в них Н на А и опустив выкладки, получим проекции индукции В в точке М на оси α, r, z цилиндрической системы ко- ординат: В_α = 0;

§ 21.16. Взаимное соответствие электростатического (электриче­ского) и магнитного полей. Между картинами электростатического и магнитного полей постоянного тока в областях, не занятых током, может быть соответствие двух типов.

Первый тип соответствия— когда одинаково распределение ли­нейных зарядов в электростатическом поле и линейных токов в магнит-

щего электростатического поля. Отличие состоит лишь в том, что си­ловым линиям электростатического поля отвечают эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электростатического поля соответствуют силовые линии магнитного.

В качестве примера на рис. 21.10, а изображена картина электри­ческого поля, образованного уединенным линейным зарядом +τ, а на рис. 21.10, б — картина магнитного поля уединенного проводника с током (для области вне проводника).

Второй тип соответствия — когда одинакова форма граничных эквипотенциальных поверхностей в электростатическом поле и в маг­нитном поле постоянного тока. В этом случае картина поля оказы­вается совершенно одинаковой.

Соответствие второго типа показано на рис. 21.11. На нем изобра- жена картина магнитного поля в воздушном промежутке между по­люсом и якорем машины, постоянного тока (обмотки не показаны). Если допустить, что полюс и якорь этой машины используются в ка­честве электродов некоторого конденсатора, то картина электриче­ского поля в воздушном промежутке между электродами соответст­вовала бы картине магнитного поля — в обоих случаях силовые ли-

96 -

 

нии выходили бы из полюса и входили бы в якорь нормально к поверхности полюса и якоря.

§ 21.17. Задачи, расчета магнитных полей. Рассмотрим некоторые типы

задач расчета магнитных полей.

Первый тип задач — определение индуктивности какого-либо кон­тура или взаимной индуктивности двух контуров.

Второй тип задач — определение сил, действующих в магнитном полена движущийся электрон, неподвижный проводник с током,

ферромагнитные массы в магнитном поле.

Третий тип задач — расчет поля, создаваемого заданным распределениемтоков, в пространстве.

Четвертый тип задач —расчет магнитных экранов. Магнитными экранами называют устройства, предназначенные для ослабления магнитного поля в заданной области пространства по сравнению магнитным полем, вне экрана. К магнитной экранировке прибегают, например, для защиты чувствительных приборов от влияния посторон­них магнитных полей, в частности от влияния магнитного поля Земли.

Пятый тип задач — нахождение распределения токов в некотором объеме для получения заданной картины магнитного поля. Так,например, в морском деле большое значение имеет дегауссировка кораблей: корабль, обладая большой ферромагнитной массой, возмущает магнитное поле Земли не только в непосредственной близости от себя, но и на достаточно большом расстоянии. Соответствующие индикаторы.на возмущение магнитного поля Земли могут привести в действие на­ходящиеся поблизости самодвижущиеся мины (имеются в виду усло-. вия военного времени), и в результате корабль может оказаться подор­ванным. Чтобы этого не агучилтеь, на кораблях устанавливают спе­циальные намагничивающие обмотки, которые располагают таким образом, чтобы скомпенсировать возмущение магнитного поля Земли вблизи корабля.

Много различных, задач на расчет магнитных полей возникает при, магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии. Магнитная дефектоскопия позволяет по картине магнитного поля судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко распространена она на железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути. Широкое распространение ее объясняется экономич­ностью и быстротой осуществления контроля.

§ 21.18. Общая характеристика методов расчета и исследования

магнитных полей. Методы расчета и исследования магнитных полей

можно подразделить на три группы: аналитическую, графическую и

экспериментальную.

Группа аналитических методов объединяет все чисто аналитиче­ского порядка приемы интегрирования уравнения Пуассона (для областей, занятых током), уравнения Лапласа (для областей, не занятыхтоком), применение методов зеркальных и конформных отобра­жений и др.

4 Зак. 1730. 97

В силу трудностей математического характера классические аналитические методы позволяют решать относительно небольшой круг задач.

В тех случаях, когда расчет поля аналитическими методами вызы­вает затруднения, прибегают к графическому методу, построения кар­тины поля или к исследованию магнитного поля на модели. Графиче­ские методы построения картины поля применимы к двухмерным без­вихревым полям.

За последние годы был развит метод интегральных уравнений (см. приложение 3), предполагающий использование ЭВМ и значительно расширяющий круг решаемых задач.

§ 21.19. Опытное исследование картины магнитного поля. Опытное исследование картины магнитного поля производят различными ме­тодами.

Первый метод основан на явлении электромагнитной индукции и состоит в следующем. Плоскую очень малых размеров рамку с намо­танной на нее обмоткой помещают в исследуемую область поля и соединяют с баллистическим гальва­нометром. При коммутации тока в обмотках аппарата (или машины), поле в воз­душном зазоре которого исследуется, или при быст­ром удалении рамки в об­ласть, где магнитное поле заведомо слабое (в послед­нем случае ток в обмотках не переключается), изме­ряют количество электри­чества, протекшее по баллистическому гальванометру, и по нему судят о среднем значении индукции в рамке. Затем рамку помещают в другую точку поля и снова определяют индук­цию и т. д. Этот метод дает возможность исследовать магнитные поля практически любой конфигурации в пространстве вне ферромагнетиков.

Второй метод исследования безвихревого поля — метод модели­рования полями тока в проводящей среде — основан на аналогии. между полем в проводящей среде и магнитным безвихревым полем. Он состоит в следующем. Для снятия картины плоскопараллельного поля в воздушном зазоре какого-либо аппарата или машины из листа металла (например, из стального листа) изготовляют увеличенную модель исследуемого участка поля. Так, на рис. 21.12 изображена модель для исследования поля рассеяния между полюсами машины постоянного тока. Так как м. д. с. распределена вдоль полюса, то подвод тока к краю полюса производится от нескольких припаянных

к листу проводов. Токи в них могут регулироваться и этим может

задаваться закон распределения м. д. с. по высоте полюса. Отвод тока от линии тп, являющейся эквипотенциальной, производится с помо­щи массивной проводящей колодки.

Щуп и индикатор И служат для построения эквипотенциален в поле проводящей среды.

Третий метод — применение датчиков Холла.

Качественное исследование магнитного поля часто производят с помощью стальных опилок, которые насыпают на плоский лист из не­ферромагнитного материала, помещают в магнитное поле и слегка по листу постукивают. Опилки расположатся вдоль силовых линий. По густоте силовых линий можно качественно судить об интенсивности

магнитного поля.

Вместо опилок нередко используют мельчайшие порошки окислов: железа, находящихся во взвешенном состоянии в какой-либо жид­кости, например керосине. Этот способ широко применяют при маг­нитной дефектоскопии изделий из ферромагнитных материалов.

§ 21.20. Графическое построение картины поля и определение по ней магнитного сопротивления. Рассмотрим: методику графического построения картины плоскопараллельного магнитного поля на кон­кретном примере.

На рис. 21.11 изображены полюс и якорь машины постоянного тока.
Размер, перпендикулярный рисунку,, принят достаточно большим —
только при этом условии поле можно считать плоскопараллельным

Так как магнитная проницаемость стали много больше магнитной
проницаемости воздуха, то магнитные силовые линии практически
перпендикулярны поверхности полюса и якоря. Следовательно, их
поверхности являются эквипотенциальными. Построение семейства
силовых и эквипотенциальных линий производят «на глаз», руковод-
ствуясь следующим: силовые линии должны быть перпендикулярны.,
поверхностям полюса и якоря и так расположены по отношению друг
к другу, чтобы после проведения эквипотенциалей образовались кри-
волинейные прямоугольники, для которых отношение средней ши-
рины b к средней длине а было приблизительно одинаково для всех
прямоугольников. При первом построении это, возможно, не удастся
сделать достаточно хорошо, но после нескольких попыток, особенно
при наличии некоторого навыка и с учетом симметрии в поле (если она
имеется), удается построить сетку поля так, что b₁/a_t = b_a/a₂ = b₃/a₃ =...