построение картины плоскопараллельного поля. 3 глава

Если поле создается не только диэлектриком с остаточной поляризацией,

но и другими заряженными телами, то следует использовать принцип на­ложения. Поле определяется вне поляризованного диэлектрика.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте понятие «электростатическое поле». 2. Какой физический смысл придается E и φ? Какая интегральная и дифференциальная связь существует между ними? 3. Какие поля называют потенциальными? 4. Что понимают под кар­тиной пап я? Какие характеристики поля называют точечными, какие интеграль­ными? 5. В чем отличие свободных зарядов отсвязанных? 6. Каков смысл вектора Р? Что послужило основанием для введения вектора D? 7. Дайте физическое толкова­ние понятиям градиента и дивергенции. 8. Могут ли при переходе через границу раз­дела двух сред с различными е полные значения E и D изменяться скачками? 9. Оха­рактеризуйте поле точечного и линейного зарядов и поле диполя. 10. Дайте обосно­вание методу зеркальных изображений. 11. Что определяют потенциальные и ем­костные коэффициенты и частичные емкости? 12. Дайте примеры плоскопараллельного, плоскомеридианного и равномерного полей. 13. Охарактеризуйте идёюи этапы решения уравнений в частных производных методом разделения переменных. 14. Ка­кое допущение принято в методе средних потенциалов? 15. Тонкое кольцо радиуса а заряжено с плотностью т и находится в воздухе; определите создаваемую им напря-

ГДАВА ДВАДЦАТАЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ

§ 20.1. Плотность тока и ток. Если под воздействием внешних источников в проводящей среде (металлических проводниках земле жидкостях) создано электрическое поле, то в ней будет протекать электрический ток.

Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ионов в.жидкости под действием электрического поля принято называть током проводимости.

При своем упорядоченном движении носители зарядов испытывают многочисленные столкновения с другими частицами вещества, которые находятся в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упоря­доченное движение носителей зарядов и являются причиной сопро­тивления, оказываемого проводящей средой прохождению тока. Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток называют удельной проводимостью у. Удельная проводимость y зави-. сит от физических свойств проводящего материала и температуры имеет размерность Ом^-1 м^-1 = См/м.

Электрическое поле в проводящей среде подчиняется законам, рассмотренным в данной главе.

Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока . Это векторная величина, направленная по напряженности электрического поля. Она численно равна отношению тока , протекающего; через элемент поверхности S (перпен­дикулярный к направлению-напряженности поля в данной точке) к величине S этой поверхности.

Если поверхность имеет конечные размеры, то направление век-
тора плотности тока во всех элементах, на которые может быть раз-
убита эта поверхность, и направление элементов поверхности могут
быть различны, и ток определится так:I= ...

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока. Ток в отличие от плотности тока является скаляром алгебраиче­ского характера.

При протекании постоянных токов как внутри проводящих тел так и вне их существуют постоянные (неизменные во времени) магнитные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не воз­никает явления электромагнитной индукции, т. е. магнитное поле созданное постоянным током, не оказывает влияния на электрическое поле постоянного тока. Поэтому электрическое и магнитное поля постоянного тока можно рассматривать раздельно.

Магнитное поле постоянного тока рассматривается в гл. 21.

§ 20.2. Закон Ома и второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме. Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объе-. мом V. Длина ребpa параллелепипеда , площадь поперечного сечения S. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряжен-

ность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис. 20.1, а). В силу малости объема можно считать, что напряженность электри­ческого поля Е одна и та же во всем элементарном объеме; == n °; S = Sn°, гдe n° — единичный вектор по направлению , Sи Ё. Ток I = dS = S. Напряжение на элементе объема U = Е ==

= R . Сопротивление элемента объема R= /y S

Соотношение (20.1) называют законом Ома в дифференциальной форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.

Уравнение (20.1) справедливо для областей вне.источников э. д. с.
В областях, занятых источниками э. д. с, кроме кулонова (электро­-
статического) поля существует еще так называемое стороннее элек­
трическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в элек­-
трической цепи.

Под сторонним электрическим полем понимают электрическое
поле, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми,
термоэлектрическими процессами.

Напряженность стороннего поля обозначают E_стор.. В областях,

занятых источниками э. д. с, полное значение напряженности поля

равно геометрической сумме напряженности кулонова и стороннего

полей Е + E_стор..

На рис. 20.1, б схематически изображена электрическая цепь постоянного тока,
состоящая из источника питания и нагрузки..

70

 

Источник сторонней э. д. с. создает внутри источника питания стороннюю напряженность поля E_стор..

Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника на­зывается э. д. с. источника (Е_t)

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделе- ние электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источника, а отрицательные — к минусу.

Эти заряды в области внутри и вне источника создают электрическое поле, на- пряженность которого, как и напряженность электростатического (кулонова) поля, направлена от положительных зарядов к отрицательным.

При протекании постоянного тока по цепи одни электрические заряды непре­рывно сменяются другими, такими же, как и в предыдущие моменты времени. Таким образом, картина поля в макроскопическом смысле повторяется в смежные моменты времени. Поле носит как бы статический характер. Это и послужило основанием для того, чтобы поле, созданное в проводящей среде разделившимися зарядами, называть кулоновым полем, а его напряженность Е — напряженностью кулонова поля.

Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Пол-

ное значение напряженности поля внутри источника равно E+E_стор..Вне источника кулоново поле направлено от положительного электрода, к отрицательномуПод действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области вне источника. При протекании тока по цепи | E_стор | | E|.При разомкнутой цепи

| E_стор | | E|;.

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками э. д. с, записывают следующим образом:

Уравнение (20.3) называют обобщенным законом Ома в дифферен­циальной форме.

Если, от обеих частей уравнения (20.3) взять интеграл по замкну­тому контуру, включающему в себя источник э. д. с, то из уравнения (20.3) будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравнение (20.3) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

На рис. 20.1, в изображен замкнутый контур, по которому течет ток I. На участке 123 имеется источник сторонней э. д. с. Е₁ На участке 341 нет источников сторонней э. д. с. Обозначим через R₁ сопротивление участка 123 и через R — сопротивление участка 341. Примем, что площадь поперечного сечения всех участков замкнутого контура достаточно мала для того, чтобы можно было считать направление плот­ности тока и напряженности поля в некоторой точке совпадающими с направле­нием элемента пути dl в той же точке.

Умножим обе части (20.3) на dl/y и составим циркуляцию вдоль замкнутого кон­
тура 12341 (рис. 20.1, в):

 

 

=0 в силу потенциального характера кулонова поля.

В свою очередь

но равен сторонней Э. д. с. E_1,а E_стор dl=0, так как на участке 341

123 341

нет сторонней э. д. с.

Для подсчета величины умножим и разделим подынтегральное выраже­ние на площадь поперечного сечения S, от плотности тока перейдем к току I и

заменим на сопротивление участка пути dR. Получим;

Таким образом,.из уравнения (20.3) образовано.уравнение I (R₁+ R) = E₁ составленное по второму закону Кирхгофа. '

§ 20.3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

Если в проводящей среде выделить,некоторый объём, по которому, про-, текает постоянный, не изменяющийся во времени ток, тс можно ска­зать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышед­шему из него,..иначе в этом объеме происходило бы накопление элек­трических зарядов, что опыт не подтверждает. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:

= 0. (20.4)

Если разделить и левую и правую части (20.4) на одно и то же числа (на объем, о котором шла речь), то равенство останется спра­ведливым:

--—— = 0

V

Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объему находящийся внутри замкнутой поверхности, устремим к нулю:,

= div = 0.

 

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля в проводящей среде:

div (20.5)

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифферен­циальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме (при постоянном токе) в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости

72
§ 20.4. Дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца. В гл. 1

отмечалось, что если по какому либо проводнику сопротивлением R протекает постоянный ток I, то в единицу времени (в секунду) в нем

выделяется энергия, равная I ²R. Определим энергию, выделяющуюся в единицу времени в единице объема, проводящей среды (с этой целью

воспользуемся рис. 20.1, a):

Следовательно, в единице объема проводящей среды в единицу времени выделяется энергия, численно равная уЕ^г.

§ 20.5. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Так же как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде Е = —grad φ. В неизменном во времени поле

div = div_𝛶E= 0. (20.7)

Если 𝛶 среды не изменяется от точки к точке, т. ё. если, среда однородна и изотропна, то у как постоянную..величину можно вынести за знак дивергенции и, следовательно, вместо div_𝛶E= 0 можно на­писать _𝛶 div E ==0 или

divE = 0, (20.8) -

т.е '■"■" '■

div(—grad φ)=0;

²φ=0 (20..9)

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде явля­ется полем потенциальным. В нем, в областях, незанятых источниками,

dl = 0. ' ■ ' -

§ 20.6. Переход тока из среды с проводимостью у₁ в среду с про­водимостью γ _2. Граничные условия. Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с, другой проводимостью.

контура равно нулю,

На рис. 20.2 линия 00 есть граница раздела сред. Возьмем на границе плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуля­цию: вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41 (длину последних обозначим dl).

Так как Edl вдоль любого замкнутого равно нулю и для контура 1234.

В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими интеграла вдоль этих путей и тогда:"

E_ltdl-E_2tdl = 0 или E_lt = E_2t (20.10)

Это соотношение совпадает с соотношением (19.34).

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей
токов. Докажем это.

На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис. 20.3, а). Поток вектора б, втекающий в объем через нижнюю грань.

равен — _1n ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань, _2n . Так как = 0, то:

- _{2n 2n ; (20.11)}

_1n = _2n

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывна тангенциальная соста­вляющая вектора Е, т. e E_1t= E_2t

(но Е_1п =Е_2п), и непрерывна нормальная составляющая плотности
тока _1п. == _2л (но _{1t 2t}).

Отсюда следует, что полные значения вектора E и вектора в об­щем случае меняются скачком на границе раздела.

Найдем связь между углом падения β₁ и углом преломления β₂. В соответствии с рис. 20.3, б:

или

Если ток переходит из среды с большой проводимостью (напри­мер, из металла) в среду с малой проводимостью (например, в землю),то тангенс угла преломления tg β₂ = tgβ₁ Υ _{2 1} меньше тангенса угла падения и, следовательно, угол β₂ будет меньше угла β_1.Если у₂ весьма мало, то угол β₂ 0.,

§ 20.7, Аналогия между полем в проводящей среде и электро­статическим полем. По своей природе поле электростатическое и поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростати­ческое поле создается электрическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве, тогда как электрическое поле

в проводящей среде — это поле, в котором электрические заряды имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника.

Тем не менее между двумя полями может быть проведена определенная формальная аналогия.

Действительно, электростатическое поле в областях, не, занятых зарядами, удовлетворяет уравнению Лапласа. Электрическое Поле постоянного тока в проводящей среде вне сторонних источников также ему удовлетворяет. В обоих полях имеют дело с вектором напря­женности поля Е. С вектором электрического смещения D= ε_аE можно сопоставить вектор плотности, тока = уЕ. С потоком век­тора D (обозначим его буквой ) ψ = ∫ ds можно сопоставить поток вектора плотности электрического тока I =∫ dS.

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков: E_1t = E_2t и D_1n = D_2n.

Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различной проводимостью E_1t = E_2t и _1n = _2n

Но если два поля удовлетворяют одному и тому же уравнению ²φ = 0 и в них выполняются тождественные граничные условия для сходных величин, то при однаковой форме граничных поверхностей на основании теоремы единственности можно сказать, что совокупность силовых и эквипотенциальных линий в этих двух полях (т. е. картина поля) будет одинаковой.

Эта формальная аналогия широко используется на практике. Так, например, если какое-либо электростатическое поле уже изучено, то все сведения о нем могут быть перенесены и на геометрически подобное поле в проводящей среде. Справедливо и обратное заключение.

§ 20.8. Экспериментальное исследование полей. Если форма гра-
ничных поверхностей (электродов) сложна, то аналитический расчет

поля осуществить довольно трудно. Непосредственно же определить

потенциалы точек электростатического поля, помещая в них зонды, обычно также не удается, потому что зонды даже при малой мощности,

потребляемой индикаторами, своим присутствием искажают поле. В этом случае поле исследуют экспериментально на модели, т. е. прибегают к моделированию, либо в электролитической ванне, либо на твердой модели. Рассмотрим, как производится моделирование

двухмерного поля в электролитической ванне *.

В ванну с электролитом (например, с подкисленной водой),поме-

щают электроды (рис. 20.4). Форма и их взаимное расположение должны

быть точно такими же, как и в изучаемом электростатическом поле.

Для того чтобы стенки ванны меньше искажали исследуемое поле,

лийейные размеры ванны должны в несколько раз превышать соот-

ветствующие линейные размеры исследуемого участка поля.

Электроды соединяют с источником э. д. с. низкой частоты (обычно 50 Гц). Использовать в качестве источника питания э. д. с. постоян-

* В приложении Е' на стр. 204 рассматриваются основы другого метода модели­рования полей — с помощью электрических сеток.

тока нельзя, так как при постоянном токе будет происходить электролиз подкисленной воды, и пузырьки газа", осаждаясь на электродах, будут искажать, исследуемое поле. По электролиту проходит переменный ток.

С помощью вспомогательного реостата Р, зонда (щупа) и индикатора нуля И можно снять семейство эквипотенциальных линий в поле. С этой целью устанавливают движок реостата в каком-либо фиксиро­ванном положении и перемещая зонд (щуп) так, чтобы индикатор показывал нуль, находят совокупность точек, потенциал которых равен

потенциалу движка реостата. Далее переме­щают движок реостата в новое положение и определяют координаты точек второй эквипотенциали и т. д. Затем по семейству эквипотенциалей строят сетку силовых линий. При по­строении последней руководствуются тем, что силовые линии в любой точке поля должны быть перпендикулярны эквипотенциалям, в том числе и поверхностям электродов.

В электростатическом поле силовые линии перпендикулярны поверхностям" электродов. В поле проводящей среды силовые линий, строго говоря, не совсем перпендикулярны по­верхностям электродов^ Но если проводимость электродов будет во много раз больше прово-

димости электролита, то [см. формулу '(20.12)]-с; большой степенью точности можно считать, что силовые линии будут подходить к по­верхностям электродов практически под прямым углом,

Моделирование двухмерных полей на твердой модели осуществляют обычно на специально выпускаемой электропроводной бумаге (в обыч­ную бумагу добавляют сажу или графит). Металлические электроды ставят на бумагу и подводят к ним напряжение переменного или постоянного тока. Ток проходит по бумаге. Семейство эквипотенциалей снимают так же, как и в электролитической ванне.

§ 20.9. Соотношение между проводимостью и емкостью. Если какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить к источнику э. д. с, то в проводящей среде пойдет ток. Если напря­жение между электродами 1и 2 равно U₁₂ и по среде проходит ток I,то проводимость между электродами 1и 2 G= I/U₁₂
положены одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды Q создающие поток ψ вектора электрической индукции D

Если разделить (20.14) на (20.13), то после сокращения получим

C/G = ε_a/γ; (20.15)

т.е. емкость С между двумя телами, разделенными диэлектриком

с абсолютной диэлектрической проницаемостью ε_a,так относится

к проводимости G между теми же телами, если поместить их в среду

с электрической проводимостью γ, как ε_a относится к γ.

Соотношение (20.15) позволяет по известному выражению емкости

между какими-либо телами получить выражение для проводимости

или совершить обратную операцию.Так, например, емкость двух-

проводной ЛИНИИ ■

где l —длина проводов; d — расстояние между осями проводов;
r — радиус провода.;

Для того чтобы получить выражение для проводимости, между двумя параллельными проводами (цилиндрами), погруженными в среду

Тогда получим: Или другой пример. Ем­кость коаксиального кабеля рис, 20.5, а):

с проводимостью у, надо в соответствии с (20.15) заменить в (20.16) ε_а на у.

Проводимость между двумя соосными Цилиндрами длиной l, которые разделены средой с проводимостью у (рис. 20.5, 6)

В свою очередь в электрическом поле с электродами такой же кон­фигурации емкость между двумя частями электродов, на которых рас-

Аналогию можно распространить и на более сложные поля. На­пример, если в равномерное поле, созданное в среде с проводимостью γ_в, поместить шар с проводимостью y_i то в соответствии с (19.67) потенциал внутри шара определим следующим образом:

§ 20.10. Общая характеристика задач расчета электрического поля в проводящей среде и методов их решения. Так же как и задачи электростатики, задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно классифицировать по характеру величины, которая опре­деляется в результате расчета, на задачи, в которых определяют точечные характеристики (плотность тока, потенциал), и задачи, в ко­торых находят интегральные характеристики поля, например сопро­тивление между электродами или напряжение между некоторыми точками.

В зависимости от того, что задано и что определяется, все задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно разделить на два основных типа.

В первом типе задач заданы форма и расположение электродов (геометрия поля), свойства среды и интенсивность источников, соз­дающих поле. Требуется найти либо точечные либо интегральные характеристики поля.