Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия

Пример решения типового расчета

№ 1. Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Требуется:

1) найти ее решение с помощью формул Крамера;

2) записать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления; 3) решить методом Гаусса.

№ 2. Разложить вектор по базису трех векторов , и , если , , , .

№ 3. Дано разложение векторов и по векторам и . Требуется найти:

1) длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах и ;

2) косинус угла между векторами и ;

3) площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

, , , , .

№ 4. По координатам вершин пирамиды найти:

1) угол между ребрами и ;

2) площадь треугольника - основания пирамиды;

3) объем пирамиды ;

4) длину высоты пирамиды , опущенную из вершины ;

5) уравнение плоскости ;

6) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

7) угол между ребром и плоскостью основания .

; ; ; .

№ 5. Найти точку пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью .

№ 6. Найти точку , симметричную точке относительно плоскости .

, .

№ 7. Даны вершины треугольника . Найти:

1) уравнение высоты, опущенной из вершины ;

2) точку пересечения высоты и стороны ;

3) точку пересечения медиан треугольника .

; ; .

№ 8. Составить каноническое уравнение кривой, каждая точка которой равноудалена от точки и прямой .

РЕШЕНИЕ ВАРИАНТА 26

№ 1.

1) Запишем систему уравнений в матричном виде:

Найдем сначала главный определитель системы:

Так как главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Для нахождения решения по правилу Крамера найдем вспомогательные определители:

;

Таким образом, получаем:

; ; .

Ответ: ; ; .

2) Решим систему матричным методом. Введем некоторые обозначения:

, , .

Так как определитель матрицы отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу . Решение системы найдем по формуле: .

Таким образом, для нахождения решения нужно сначала найти матрицу, обратную матрице . Она находится следующим образом:

, где ─ соответствующие алгебраические дополнения матрицы .

; ;

;

, , значит, , , .

Ответ: ; ; .

3) Решим систему методом Гаусса. Первое уравнение системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым, а для получения третьего - умножим первое на 6 и сложим с третьим:

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на 7 и сложим с третьим:

Ответ: ; ; .

№ 2.

Найдем разложение вектора по базису трех векторов , и , то есть , где - неизвестные величины, для нахождения этих величин составим систему уравнений:

, из условия .

Решим систему методом Гаусса. Первое и третье уравнения системы оставляем без изменения, для получения второго уравнения умножим первое на 2 и сложим со вторым:

Первых два уравнения оставим без изменения, а для получения третьего умножим второе на -2 и сложим с третьим:

Таким образом, .

Ответ: .

№ 3.

, , , , .

1) Одна из диагоналей параллелограмма равна , другая ─ .

Ответ: ; .

2) Найдем косинус угла между векторами и :

Ответ: .

3) Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Ответ: .

№ 4.

1) Найдем координаты векторов и ;

Угол между векторами находится по формуле .

, , .

Ответ: .

2) площадь треугольника вычисляется по формуле:

, ,

Ответ: .

3) Найдем объем пирамиды :

Ответ: .

4) Найдем длину высоты пирамиды , опущенную из вершины :

Ответ: .

5) Составим уравнение плоскости :

, ,

Ответ: .

6) Составим уравнение высоты, опущенной из вершины на грань . Так как точка принадлежит высоте и высота параллельна вектору нормали грани , то уравнение запишется в виде:

, .

Ответ: .

7) Найдем угол между ребром и плоскостью основания .

, , .

Ответ: .

№ 5. Координаты точки пересечения прямой , заданной общим уравнением, с данной плоскостью являются решением следующей системы уравнений:

Решим эту систему методом Крамера:

, , .

Таким образом, точка пересечения прямой с данной плоскостью имеет координаты .

Ответ:

№ 6. Найдем точку , симметричную точке относительно плоскости , если

, . Составим сначала параметрические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно данной плоскости. За направляющий вектор можно взять вектор с координатами :