Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой.
Сложность формулировки пятого постулата породила мысль о возможной зависимости его от других постулатов, и потому возникали попытки вывести его из остальных предпосылок геометрии. Как правило, это заканчивалось неудачей. Были попытки доказательства от противного: прийти к противоречию, предполагая верным отрицание постулата. Однако и этот путь был безуспешным.
Наконец, в начале XX века почти одновременно сразу у нескольких математиков: у К. Гаусса в Германии, у Я. Больяи в Венгрии и у Н. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную.
В силу приоритета Н. Лобачевского, который первым выступил с этой идеей в 1826, и его вклада в развитие новой, отличной от евклидовой геометрии последняя была названа в его честь «геометрией Лобачевского».
Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание – аксиому параллельности Лобачевского
Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка A, что через A проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие a.
Как уже отмечалось в § 15.1, непротиворечивость системы аксиом доказывается представлением модели, в которой реализуются данные аксиомы. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости, которая будет здесь представлена, сделана по материалам учебника «Геометрия» (А. Д. Александров, А. Л. Вернар, В. И. Рыжик, М: Просвещение, 1991). Эта модель была предложена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 году.
Для начала напомним основные понятия и аксиоматику, на которой базировалось изложение, систематизировав их заново и дополнив необходимыми аксиомами.
За основные объекты были приняты точка, прямая и фигура. За основные отношения между этими объектами принимаются:
1) точка принадлежит фигуре, в частности прямой;
2) точка лежит между двумя точками для точек прямой.
Следующие определения базируются на основных определениях.
- Фигура называется объединением некоторых данных фигур, если ей принадлежат все точки этих фигур, и никакие другие.
- Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Эти точки называются концами отрезка.
- Лучом AB называется часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по ту же сторону от точки A, что и точка B. Точка A называется вершиной луча.
- Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла и двух различных лучей, исходящих из этой точки, – сторон угла.
- Полуплоскостью, ограниченной прямой a, называется фигура, обладающая следующими свойствами:
- она не содержит прямую a;
- если точки A и B принадлежат полуплоскости, то отрезок AB не имеет общих точек с a;
- если же A принадлежит полуплоскости, а B нет, то отрезок AB имеет общую точку с прямой a.
Приведем систему аксиом, обозначив римской цифрой номер группы, а арабской – номер аксиомы в группе.
I. Аксиомы связи прямой и точки.
- Существуют, по крайней мере, две точки.
- Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
- Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
- Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
II. Метрические аксиомы отрезка.
- Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
- На каждом луче от его начала можно отложить отрезок заданной длины и только один.
III. Аксиома непрерывности.
- Пусть A и B – любые две точки прямой a и пусть
и 
– совокупности всех точек отрезка AB, таких, что 
и любая точка из лежит по ту же сторону, что и точка A от любой точки из 
Тогда на прямой a существует точка C, такая, что любая точка из лежит по ту же сторону от C, что и A, а любая точка из – по ту же сторону от C, что и B.
IV. Аксиомы плоскости.
- Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
- Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
- От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
- Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
V. Аксиома параллельности Евклида.
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.
Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Для этого фиксируем на евклидовской плоскости E горизонтальную прямую x. Она носит название «абсолюта». Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского – это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.
Прямыми плоскости L считаются полуокружности с центрами на абсолюте или лучи с вершинами на абсолюте и перпендикулярные ему.
Фигура на плоскости Лобачевского – это фигура полуплоскости L. Принадлежность точки фигуре понимается так же, как и на евклидовой плоскости E. При этом отрезком плоскости L считается дуга окружности с центром на абсолюте или отрезок прямой, перпендикулярной абсолюту (см. рис. 15.2.1). Точка K лежит между точками C и D, значит, что K принадлежит дуге CD. В условиях нашей модели это эквивалентно тому, что K' лежит между C' и D', где C', K' и D' – проекции точек C, K и D соответственно на абсолют. Чтобы ввести понятие равенства неевклидовых отрезков в модели Пуанкаре, определяют неевклидовы движения в этой модели.
|
| Рисунок 15.2.1 |
Неевклидовым движением называется преобразование L, которое является композицией конечного числа инверсий с центрами на абсолюте и осевых симметрий плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту. Инверсии с центром на абсолюте и осевые симметрии плоскости E, оси которых перпендикулярны абсолюту, называют неевклидовыми симметриями. Два неевклидовых отрезка называют равными, если один из них неевклидовым движением можно перевести во второй.