Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если 
– точка разрыва функции 
, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 1, 2, а именно:
1) Функция определена в окрестности точки , но не определена в самой точке . Так функция 
, рассмотренная в примере 2 а) имеет разрыв в точке 
, так как не определена в этой точке.
2) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы 
и 
, но они не равны между собой: 
. Например, функция 
из примера 2 б) определена в точке 
и ее окрестности, но 
, так как 
, а 
.
3) Функция определена в точке и ее окрестности, существуют односторонние пределы 
и 
, они равны между собой, но не равны значению функции в точке : 
. Например, функция 
. Здесь 
– точка разрыва: в этой точке функция определена, существуют односторонние пределы 
и 
, равные между собой, но 
, т. е. 
.
Точки разрыва функции классифицируются следующим образом.
Определение 5. Точка называется точкой разрыва первого рода функции 
, если в этой точке существуют конечные пределы 
и 
, но они не равны между собой: 
. Величина 
называется при этом скачком функции в точке .
Определение 6. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если в этой точке существуют конечные пределы и 
, они равны между собой: 
, но сама функция не определена в точке , или определена, но 
.
Определение 7. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов ( или 
) не существует или равен бесконечности.
Пример 3. Найти точки разрыва следующих функций и определить их тип: а) 
б) 
Решение. а) Функция 
определена и непрерывна на интервалах 
, 
и 
, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки 
и 
. Найдем односторонние пределы функции в точке 
:
, 
Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка является точкой разрыва первого рода. Скачок функции:
.
Для точки находим:
,
, 
.
Таким образом, имеем: 
. Следовательно, в точке 
наша функция является непрерывной.
График данной функции изображен на рис.4.
Рис. 4. – График представленной функции
Решение. б) В точке 
функция меняет свое аналитическое задание, следовательно, в этой точке возможен разрыв. Найдем односторонние пределы:
,
, 
Так как 
, то точка 
является точкой разры-ва первого рода. Скачок функции: 
.
В точке 
функция не определена, значит точка является точкой разрыва. Определим ее тип:
, 
.
Следовательно, в точке 
функция имеет разрыв второго рода.
Литература
1. Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
2. Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравнения.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.
3. Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).
4. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.
5. Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.