Кафедра математического анализа
Дипломная квалификационная работа
Автор: Гарипов Ильгиз.
Тема: Свойства усредненной функции с сильной осцилляцией.
К защите допущен ____________
Заведующий кафедрой к.ф. м. н. доцент Сафаров Т.Г.
Руководитель д.физ-мат. наук. профессор Султанаев Я.Т.
Уфа 2001
Содержание
Стр.
Введение 3
§ 1 Свойства функции 
. 4
§ 2 Свойства функции 
и ее производных. 5
2.1 
5
2.2 
6
2.3 
где a>0 7
2.4 
9
§ 3 Поведение 
11
3.1 
11
3.2 11
3.3 
12
3.4 
13
§ 4 Поведение 
14
4.1 14
4.2 15
4.3 15
4.4 16
Заключение 17
Литература 18
Введение
Пусть произвольная функция, определенная на 
, и 
при 
Введем в рассмотрение функцию 
с помощью следующего равенства:
(1)
Назовем эту функцию усреднением функции
Это название оправдано так как из (1) и теоремы о среднем для интегралов можем заключить
§ 2 Свойства функции .
1. Если 
, при 
, то 
при
Доказательство:
, 
, 
" N >0, 
: 
2. 
(2)
3. 
(3)
Дифференцируя формулу (1) по dx получаем
(4)
(5)
§ 2 Свойства функции и ее производных.
I) Рассмотрим вид функции для случаев когда :
2.1
2.2 
2. 3 
где a>0;
Разделим интеграл на два интеграла и вычислим их отдельно.
Второй интеграл не оказывает влияния на первый, так как при 
функция стремится к 0.
Доказательство:
Рассматривая второй интеграл, мы получаем:
Рассматривая первый интеграл, получаем:
Последние два слагаемых полученных при интегрировании содержат в произведении 
, то есть при возрастании x эти слагаемые будут очень быстро уменьшатся и весь интеграл при 
становится очень малым по сравнению с первой частью. Поэтому можно считать что при 
Следовательно:
2.4. 
Наложить на 
ограничение, такое чтобы присутствие 
не влияло на поведение функции.
Рассматривая полученное выражение можно заметить что
становится пренебрежительно малым по отношению к остальной части
как только 
. Ограничение №1
В тоже время
Становится бесконечно малым как только 
. Ограничение №2
Раскрывая в оставшейся части скобки, по Биному Ньютона получаем, что
должен быть очень малым при то есть
так как 
ограниченная функция, к 0 должен стремится 
.
Ограничение №3
Учитывая ограничения 1, 2, 3 получаем:
Следовательно, 
ограничение на 
удовлетворяющее поставленной задаче, при котором присутствие не влияет на поведение функции 
.
§ 3 Рассмотрим поведение функции 
для случаев:
3.1) 
3.2) 
3.3) 
Вычислим отдельно интегральное выражение, стоящее в числителе:
=
=
рассматривая пределы при 
видим что на поведение функции оказывает влияние только главный член
Поведение данной функции при эквивалентно поведению функции
(*)
Вычислим интеграл в знаменателе:
=
(**)
Учитывая (*)и (**) получаем
Следовательно, по формуле (2) получаем 
3.4 
Отдельно вычислим числитель и знаменатель:
По ранее доказанному в пункте 2.4 мы можем сказать что второй интеграл не оказывает влияния на поведение функции. Поэтому мы можем утверждать, что числитель эквивалентен выражению:
Вычислим знаменатель:
Разделив интеграл на 2 интеграла, мы получаем:
По пункту 2.4 можем вывести что второй интеграл не влияет на поведение функции при 
Следовательно, знаменатель:
§4. Рассмотрим поведение второй производной 
Для облегчения вычислений введем обозначения:
При этом формула для 
примет вид 
(6)
4.1 
Виду того, что d(x) очень мал то 
будет несравним с d(x) т.е.
4.2 
используя равенства, полученные в пункте 2.2 и 3.2, преобразуя данное равенство, приходим к выражению:
(Все выкладки приводить не буду в виду их громоздкости и сложности для восприятия. Добавлю только что все выкладки, примененные в данном пункте полностью повторяют ограничения и эквивалентные выражения, использованные в пунктах 2.2 и 3.2).
Отсюда следует что 
4.3 
Используя данные, полученные в п.3.3 получаем что
Возвращаясь к п. 3.3 находим:
Вычисляя по формуле 6, получаем:
и
4.4 
и 
Заключение
В результате проведенного исследования поведения усредненной функции в случае осциллирующих коэфициентов, получены данные приведенные в следующей таблице:
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
|
|
|