ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ФИЛИАЛ)
ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
В Г. ТАГАНРОГЕ РОСТОВСКОЙ ОБЛАСТИ
ПИ (филиал) ДГТУ в г. Таганроге
Методические указания
по выполнению контрольных работ
«Математика II»
«Математика»
По направлению
Машиностроение,
Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств,
Экономика,
Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов
Разработали: Павлова М. Н., Капц И.В.
Таганрог
Целями освоения дисциплины Математика являются:
· теоретическое и практическое изучение обучающимися основных разделов математикики, составляющих научную базу, на которой строится естественнонаучная и профессиональная подготовка будущих специалистов.способных выполнять все виды профессиональной деятельности, предусмотренные ФГОС ВПО для данных направлений, формирования математической составляющей общекультурных и профессиональных компетенций;
· обеспечение высокого уровня фундаментальной подготовки по математике как основы формирования общенаучных, профессиональных, социально-личностных и общекультурных компетенций;
· развитие у студентов личностных качеств и способностей успешно работать в новых, быстро развивающихся областях науки и техники, самостоятельно непрерывно приобретать новые знания, умения и навыки;
· вариативность формирования необходимых компетенций посредством различного уровня изучения дисциплины «Математика».
Для достижения цели ставятся следующие задачи:
· воспитание культуры современного математического мышления;
· изучение математического аппарата, методов математического анализа, анализа состояния научно-техническойпроблемы на основе подбора и изучения литературных источников;
· моделирования объектов и процессов с целью анализа и оптимизации их параметров с использованием имеющихся средств исследования;
· формирование представления о математике как о мощном средстве решения задач в практической деятельности;
· привитие навыков использования математических методов для решения прикладных задач в профессиональной сфере;
· выработка навыков и умений самостоятельного расширения и углубления математических знаний и проведение математического анализа задач в профессиональной сфере.
Связь с предшествующими и последующими дисциплинами
(модулями, практиками, научно-исследовательской работой (НИР))
Дисциплина «Математика» относится к общей части математического и естественнонаучного цикла.
Для успешного освоения дисциплины обучающиеся должны иметь базовую подготовку по дисциплине «Математика» в объеме программы средней школы.
Математика является универсальным языком науки, и без знания основ математики не может быть полностью усвоена ни одна дисциплина естественнонаучного цикла, а также ряд дисциплин профессионального цикла. Курс «Математика » является базой для изучения всех дисциплин цикла Б2, а также большей части дисциплин цикла Б3, использующих математический аппарат.
Компетенции обучающегося.
формируемые в результате освоения дисциплины и планируемые результаты обучения.
Студенты, завершившие изучение дисциплины «Математика», должны обладать следующими вузовскими (обобщёнными) компетенциями (ВК):
• общекультурной компетенцией (ВОК) - способностью и готовностью приобретать с большой степенью самостоятельности новые знания в области математики, используя современные образовательные и информационные технологии;
• профессиональной компетенцией (ВПК):- способностью применять математический аппарат, методы математического анализа на уровне, необходимом для решения задач, имеющих естественнонаучное содержание и возникающих в сфере профессиональной деятельности.
Структура и содержание дисциплины
| Раздел (название) | Тема, литература | Содержание |
| Линейная алгебра | 1.1 Определители. [6.1.1, § 1], [6.1.10, гл.7] | Свойства, вычисление. |
| 1.2 Матрицы [6.1.1, § 3], [6.1.10, гл 7] | Типы матриц, операции над матрицами, ранг матрицы, обратная матрица, собственные значения. | |
| 1.3. Системы линейных уравнений, [6.1.1, § 2, 3], [6.1.10, гл 7] | Решение и исследование линейных систем. Теорема Кронекера-Капелли, метод Гаусса, правило Крамера. Матричная запись линейной системы. Основная и расширенная матрица линейной системы, определитель системы, базисные и свободные переменные. | |
| 1.4. Квадратичные формы [6.1.1, § 23] | Квадратичная форма в двухмерном пространстве, приведение ее к каноническому виду | |
| 1.5 Линейные отображения [6.1.1, § 15] | Определение линейного оператора, его матрица. | |
| Аналитическая геометрия | 2.1. Векторы и операции над ними [6.1.1, §§ 5, 6, 12, 13], [6.1.10, гл 10] | Основные определения: модуль, направляющие косинусы, проекция вектора на ось. Линейная комбинация, координаты вектора в данном базисе, коллинеарные и компланарные вектора. Базис на плоскости и в пространстве. Линейные операции и их свойства. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов. Условия коллинеарности, перпендикулярности и компланарности векторов, угол между векторами. |
| 2.2. Системы координат на плоскости и в пространстве. [6.1.2, гл. 1, § 10] | Координаты точки на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости: прямоугольная и полярная. Системы координат в пространстве: прямоугольная, цилиндрическая и сферическая. | |
| 2.3. Уравнения кривой на плоскости [6.1.9, гл. 2] | Геометрический смысл уравнений с двумя неизвестными первой и второй степени. | |
| 2.4. Прямая на плоскости. [6.1.1, § 8], [6.1.10, гл. 3] | Угловой коэффициент, типы уравнений прямой, общее уравнение прямой, условия параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой. | |
| 2.5. Плоскость в пространстве. [6.1.1, § 9], [6.1.10, гл. 10] | Нормальный вектор плоскости, типы уравнении плоскости, общее уравнение плоскости, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости. | |
| 2.6. Прямая в пространстве. [6.1.1, § 10] [6.1.10, гл. 10] | Направляющий вектор прямой, типы уравнений, общее уравнение, условия параллельности и перпендикулярности, угол | |
| 2.7. Прямая и плоскость в пространстве[6.1.1, § 10], [6.1.10, гл. 10] | Условия параллельности и перпендикулярности, угол | |
| 2.8. Кривые второго порядка [6.1.1, § 24], [6.1.10, гл. 3] | Преобразование координат при параллельном переносе осей. Канонические уравнения кривых. Исследование пятичлен-ного уравнения кривой второго порядка, приведение его к каноническому виду. | |
| 2.9. Поверхности второго порядка,[6.1.1, § 25], [6.1.10, гл. 10] | Определение, канонические уравнения, цилиндрические поверхности. | |
| Дифференциальное и интегральное исчисление | 3.1. Функция одной переменной [6.1.2, г. 1] | Определение ФОП, область определения и область значений, основные элементарные функции. |
| 3.2. Предел ФОП [6.1.2, гл. 2], [6.3.2.] [6.1.10., гл. 4] | «Е -окрестность» точки на числовой прямой, определение предела функции, его основные свойства. Первый и второй замечательный пределы. Основные приемы раскрытия неопределенностей. Понятие непрерывной и разрывной функции, классификация точек разрыва. | |
| 3.3. Дифференциальное исчисление ФОП [6.1.2, гл. 3], [6.3.2.] [6.1.10, гл. 5] | Определение производной ФОП, ее физический и геометрический смысл, уравнение касательной и нормали к кривой. Правила дифференцирования, производные основных элементарных функций: показательно-степенной функции; функции, заданной параметрически и неявно. Производные высших порядков, физический смысл производной второго порядка. Дифференциал. | |
| 3.4. Исследование ФОП и построение графиков [6.1.2, гл. 4], [6.1.10, гл. 5] | Асимптоты. Достаточные условия монотонности, существование экстремума и выпуклости. Построение графиков. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке | |
| 3.5. ФНП, дифференциальное исчисление ФНП. [6.1.2, гл. 8] [761.10, гл. 11] | ФНП: определение, геометрический смысл. Частные производные первого и второго порядка. Экстремум ФНП, условный экстремум. Дифференциал. | |
| 3.6. Неопределенный интеграл [6.1.2, гл. 10], [6.1.10, гл. 6] | Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица простейших интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям. Классы интегрируемых функций. Интегрирование дробно-рациональной функции, тригонометрических функций. | |
| 3.7. Определенный интеграл и его приложения, несобственный интеграл [6.1.2, гл. 11,12], [6.1.10, гл. 6] | Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл, свойства, формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции, Вычисление площади криволинейных фигур. Вычисление длины дуги кривой в декартовых координатах, в полярной системе координат, в параметрическом виде, несобственный интеграл. | |
| 3.8. Двойной интеграл [6.1.3, гл. 14, § 1-5] | Определение, геометрический смыл, сведение к повторному интегралу. | |
| 3.9. Тройной интеграл [6.1.3,гл.14, § 11] | Тройной интеграл, физический и геометрический смысл. | |
| 3.10. Криволинейный интеграл по координатам [6.1.3, гл. 15] | Определение, физический смысл, свойства, криволинейный интеграл по замкнутому контуру. | |
| Дифференциальные уравнения | 4.1. Общие определения | Порядок д.у., решение д.у., частное, общее и особое решение, решение задачи Коши, интегральные кривые |
| 4.2. Дифференциальные уравнения первого порядка [6.1.3 гл 13 §§ 1-9], [6.1.10 гл. 14] | Задача Коши, ее геометрический смысл, теорема существования и единственности решения. Типы уравнений и методы их решения. | |
| 4.3. Дифференциальные уравнения второго порядка[6.1.3 гл. 13 §§ 23, 24], [6.1.10 гл. 14] | Задача Коши, ее геометрический смысл, теорема существования и единственности решения. Линейные д.у. с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. | |
| 4.4. Системы дифференциальных уравнений [6.1.3 гл. 13§ 30] | Нормальная система, задача Коши для нормальной системы, метод исключения для решения нормальных систем. | |
| 4.5. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений [6.1.3 гл.13,§ 31] | Понятие устойчивости по Ляпунову. | |
| Ряды | 5.1. Последовательности [6.1.3 гл. 16, § 1], [6.1.10 гл 8] | Определение числовой последовательности, формула общего члена, реккурентные последовательности. |
| 5.2. Числовые ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 1-2], [6.1.10 гл 8] | Определение числового ряда, частичной суммы, сходимости ряда. Простейшие свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости. | |
| 5.3. Знакоположительные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 3-6], | Признаки сходимости (Даламбера, Коши, сравнения) | |
| 5.4. Знакопеременные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 7, 8], | Абсолютная и условная сходимость. Исследование сходимости знакочередующегося ряда. | |
| 5.5. Степенные ряды [6.1.3 гл. 16, §§ 13, 16], [6.1.10 гл 8] | Определение функционального ряда, его области сходимости. Определение степенного ряда, его область сходимости. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Макларена. | |
| 5.6. Гармонические колебания и ряды Фурье [6.1.3 гл. 17], [6.1.10 гл 8 | Периодические функции, гармонические колебания (определение и уравнения), ряды Фурье, теорема Дирихле, ряды Фурье для четных и нечетных функций. | |
| Функцио-нальный анализ | 6.1. Элементы теории множеств [7.1.1 § 3] | Множество, способы задания, основные числовые множества, подмножество, мера плоского множества, основные свойства отображений множеств, операции над множествами. |
| 6.2. Векторное пространство, евклидово пространство [6.1.1 § 6] | Понятие п -мерного вектора и векторного пространства. Линейное пространство, норма вектора | |
| Векторный анализ и элементы в теории поля | 7.1. Элементы теории поля [6.1.2 гл. 8] | Градиент и производная по направлению скалярного поля |
| Комплекс-ный анализ | 8.1. Комплексные числа [6.1.2 гл. 7 §§ 1-3], [6.1.10 гл 9] | Алгебраическая и тригонометрическая форма, геометрическая интерпретация, модуль и аргумент комплексного числа. Операции над комплексными числами. |
| 8.2. Функции комплексного переменного (ФКП) [6.1.2. гл. 7] | Определение ФКП. Формула Эйлера, показательная форма комплексного числа, основные элементарные функции, гиперболические функции. Ряды с комплексными членами. Производная ФКП, условия Коши-Римана. | |
| Теория вероятно-стей и статистика | 9.1. Основные понятия теории вероятностей [6.1.4 гл. 1], [6.1.6 гл. 5, § 1] | Достоверное, невозможное, случайное событие. Совместные и несовместные события. Классическое и геометрическое определение вероятности. |
| 9.2. Основные теоремы [6.1.4 гл. 2, 3, 4], [6.1.6 гл. 5, § 2] | Сумма и произведение событий, противоположные события, зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотя бы одного события, вероятность противоположного события. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Условная вероятность, формула полной вероятности. | |
| 9.3. Схема Бернулли [6.1.4 гл. 5], [6.1.6 гл 5, § 3] | Формула Бернулли, теоремы Лапласа, формула Пуассона. | |
| 9.4. Дискретные случайные величины [6.1.4 гл. 6, 7, 8], [6.1.6 гл. 5, § 6] | Случайные величины: основные определения. Дискретные случайные величины, их числовые характеристики, закон распределения вероятностей. Биноминальный закон. | |
| 9.5. Непрерывные случайные величины [6.1.4 гл. 10, 11, 12], [6.1.6 гл. 5, § 6] | Дифференциальный и интегральный законы распределения, числовые характеристики. Нормальное и равномерное распределение. | |
| 9.6. Понятие случайного процесса [6.1.4 гл. 23, 24], | Основные определения, стационарные процессы, модели случайных процессов. | |
| 9.7. Статистическое оценивание и проверка гипотез [6.1.4 гл. 15, 16, 19], [6.3.4] | Статистическое распределение выборки, полигон частот, гистограмма, характеристики вариационного ряда, определение статистической и конкурирующей гипотезы, критерии согласия. Определения точечных оценок параметров распределения, несмещенная оценка математического ожидания.Определение интервальной оценки параметров распределения, доверительный интервал, статистические методы обработки экспериментальных данных | |
| 9.8. Элементы корреляционного анализа [6.1.4 гл. 18],[6.1.6гл.5,§15] | Функции регрессии, коэффициенты корреляции. |