Определить интервал сходимости ряда и исследовать сходимость на концах интервала.
1) Пример решения четвертого задания.
а) 
;
Для нахождения интервала сходимости, воспользуемся признаком Даламбера. Определим п +1 член ряда.
, тогда 
.
По признаку Даламбера:
= 
= 
= 
=
= 
= 
так как
= 
=
Если возникла неопределенность , то числитель и знаменатель делим на наивысшую степень (
).
= 
= 
= 
= 
= 1
Ряд будет сходится если 
< 1 => 
=> -2 < x < 2.
В интервале (-2 < x < 2) ряд сходится абсолютно, вне интервала расходится. Проверим сходимость на границах.
Проверим левую границу x = -2. Подставим в исходный ряд вместо x левую границу -2.
.
Т.к. ряд знакочередующийся, то проверим выполнение признака Лейбница.
1) 
< 
< 
< …
Первое условие признака выполнилось. Проверим второе.
2) 
Второе условие не выполнилось, следовательно, ряд при x = -2 расходится и -2 не входит в интервал сходимости.
Аналогично проверяем правую границу.
x = 2 
.
Проверим выполнение необходимого признака сравнения
Так как предел не равен нулю, то необходимый признак сходимости не выполняется, ряд расходится и следовательно 2 не входит в интервал сходимости.
Т. о. интервал сходимости -2 < x < 2.
б) 
.
По признаку Даламбера:
= 
Ряд будет сходится если < 1 => 
=> -2 < x -1 < 2.
-1 < x < 3.
Проверим левую границу x = -1 
.
Т.к. ряд знакочередующийся, то проверим выполнение признака Лейбница.
1) 
< 
< 
< …
Первое условие признака выполнилось. Проверим второе.
2) 
Второе условие выполнилось, следовательно, ряд при x = -1 сходится и левая граница -1 входит в интервал сходимости.
Рассмотрим степенной ряд при x = 3. Имеем 
.
Это гармонический ряд. Он расходится и, следовательно, 3 не входит в интервал сходимости.
Т. о. интервал сходимости -1 £ x < 3.
Задание 2. Пользуясь разложением в ряд Маклорена функций 
, 
, 
, 
, 
, 
, разложить данные функции в ряд. Указать область сходимости.
1. 
. 2. 
.
3. 
. 4. 
.
5. 
. 6. 
.
7. 
8. 
.
9. 
. 10. 
.
Образец решения задания 2.
а) Разложить функцию в ряд Маклорена.
cos t = 1 - 
(см. приложение №4).
Заменим t на 
(1 - 
) = 
= 
.
Определим радиус сходимости полученного рячда.
, где 0 – бесконечно малая
=> 
; - ¥ < x < ¥. Т.е. интервал сходимости вся вещественная ось.
Задание 3. Разложить данные функции в ряд Фурье в указанных интервалах.
1. 
, (-2; 2) 6. 
, (-π; π)
2. 
, (-π; π) 7. 
, (-3; 3).
3. f(x) =x -1 (-π; π) 8. 
, (-π; π).
4. f(x) =x (-π; π) 9. 
, (-3; 3).
5. f (x) = x (-π; π) 10. 
.
Образец решения задания 3.
Разложить данные функции в ряд Фурье в указанных интервалах.
f (x)= x +2, (-2;2)
Формула разложения в ряд Фурье имеет вид:
f (x) = 
+ 
, 
; x Î[ a; b]
Функцию разложить в ряд Фурье можно, если она является кусочно-непрерывной и периодической. Чтобы функцию сделать периодической, ее продолжают периодическим образом с периодом Т на всю вещественную ось.
Разложение заданной функции в ряд имеет вид:
x +2 = 
+ 
=
+ 
.
Найдем коэффициенты ряда Фурье.
a 0 = 
,
a 1 = 
= 
= 
+ 
= 0+ 
,
b 1 = 
= 
+ 
= - 4· 
·(-1)-0+0-0= 
.
Подставим найденные коэффициенты в формулу разложения, получим
x +2 = 
+ 
= 2+ 
Задание № 4
Вариант 1.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 2.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 3.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 4.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 5.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 6.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 7.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 8.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
2. Исследовать на экстремум функцию: 
, 
.
Вариант 9.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
.
2. Исследовать на экстремум функцию: 
.
Вариант 10.
1. Найти полный дифференциал функции двух переменных: 
2. Исследовать на экстремум функцию: 