.
(методом вариаций произвольных постоянных
k 2 +3 k + 2 = 0
k 1 = -2 k 2 = -1
y = C 1(x) e-2x + C 2 (x) e-x
=> 
=>
=> 
=> 
y = 
Задание 13. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 
, а второй - 
. Найти вероятность того, что:
а) оба станка проработают смену без наладки;
б) только один станок проработает смену без наладки;
в) оба станка за смену потребуют наладки;
г) хотя бы один станок за смену потребует наладки.
1. 
6. 
2. 
7. 
3. 
8. 
4. 
9. 
5. 
10. 
Образец решения задания 13. Два станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок проработает смену без наладки, равна 0.9, а второй - 0.7. Найти вероятность того, что:
а) оба станка проработают смену без наладки;
б) только один станок проработает смену без наладки;
в) оба станка за смену потребуют наладки;
г) хотя бы один станок за смену потребует наладки.
Дано:
Р (А) =0.9; Р (
) = 1- 0,9 = 0,1;
Р (В) =0.7; Р (
) = 1-0,7 = 0,3
А - первый станок проработает смену без наладки;
В – второй станок проработает смену без наладки;
- первый станок проработает смену с наладкой;
- второй станок проработает смену с наладкой.
Найти:
Р (С)
Решение.
а) Р (С) = Р (А) Р (В) = 0,9·0,7 = 0,63
б) Р (С) = Р (А) Р () + Р () Р (В) = 0,9 · 0,3 + 0,1 · 0,7 = 0,27 + 0,07 =0,34
в) Р (С) = Р () Р ()= 0,3 · 0,1 = 0,03
г) Р (С) = Р () + Р () - Р () Р () = 0,3+ 0,1 - 0,3 · 0,1 = 0,40 - 0,03 = 0,37
или это противоположное событие пункта а), т. е. 1 - 0,63 = 0,37.
Задание 14. В первой урне 
белых и 
черныхшаров, во второй 
белых и 
черных. Из первой во вторую переложено 
шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Образец решения задания 14. В первой урне =7 белых и =3 черных шаров, во второй =5 белых и =1 черных. Из первой во вторую переложено =4 шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Дано:
=7 и =3 Переложили 4
=5 и =1
Найти Р (А)
Решение
А - вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Н 1 – гипотеза о том, что из первой урны переложили 4 белых шара;
Н 2 - гипотеза о том, что из первой урны переложили 3 белых шара;
Н 3 - гипотеза о том, что из первой урны переложили 2 белых шара;
Н 4 - гипотеза о том, что из первой урны переложили 1 белых шара;.
Р (Н 1) = 
= 
- вероятность того, что из первой урны переложили 4 белых шара;
Р (Н 2) = 
- вероятность того, что из первой урны переложили 3 белых шара;
Р (Н 3) = 
- вероятность того, что из первой урны переложили 2 белых шара;
Р (Н 4) = 
- вероятность того, что из первой урны переложили 1 белый шар;
Проверка: 
+ 
+ 
+ 
= 1
Р (А / Н 1) = 
- вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый, если из первой урны переложили 4 белых шара;
Р (А / Н 2) = 
- вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый, если из первой урны переложили 3 белых шара;
Р (А / Н 3) = 
- вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый, если из первой урны переложили 2 белых шара;
Р (А / Н 4) = 
- вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый, если из первой урны переложили 1 белый шар
Р (А) = Р (Н 1) Р (А / Н 1) + Р (Н 2) Р (А / Н 2) + Р (Н 3) Р (А / Н 3) + Р (Н 4) Р (А / Н 4)=
= · + · + 
+ 
· = 
Задание 15. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p. Найти вероятность того, что среди n случайно отобранных деталей окажутся непроверенными от 
до 
деталей.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Образец решения задания 15. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна p = 0,4. Найти вероятность того, что среди n = 500случайно отобранных деталей окажутся непроверенными от = 250 до =300 деталей.
Р (k 1£ m £ k 2) » 
= 
, q = 1 – p;
Р (250£ m £ 300) » = 
= 
= 
=
Из таблицы находим = 
.
Задание 16. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение 
, функцию распределения вероятностей F(X) (и начертить ее) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
| X | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 |
| P | p 1 | p 2 | p 3 | p 4 |
(k равно номеру Вашего варианта).
= 0.3; 
Образец решения задания 16. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X), среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
(k=2).
= 0.3;
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
P(X< 6) = 0; P(X < 10) = 0+0,3= 0,3; P(X < 14) = 0+0,3 + 0,2 = 0,5
P(X < 18) = 0 + 0,3 + 0,2 + 0,4 = 0,9; P(X ³18) = 0 + 0,3 + 0,2 + 0,4 + 0,1=1.
P (X
M [ X ] = x 1 p 1+ x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4 = 6·0,3 + 10·0,2 + 14·0,4 + 18·0,1 = 1.8+2+5.6+1.8 = 11.2
= 
= 36·0,3 + 100·0,2 +
196·0,4 + 324·0,1 = 10.8+20+78.4+32.4- 11.2·11.2 = 16.16
s (x) = 
= 
Задание 17. Случайная величина Х задана функцией распределения 
Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Образец решения задания 17. Случайная величина Х задана функцией распределения Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
f (x) = 
(x) = 
- плотность;
=
+ 0 = 
- 
-1+ 
= 
.
- 
=
+ 0 - =4- 
- 
+ 
- = 
- = 
=
Задание 18. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х объемом выборки n и среднее квадратичное отклонение 
1. х = 75,17; n = 36; 
2. х = 75,16; n = 49; 
3. х = 75,15; n = 64; 
4. х = 75,14; n = 81; 
5. х = 75,13; n = 100; 
6. х = 75,12; n = 121; 
7. х = 75,11; n = 144; 
8. х = 75,10; n = 169; 
9. х = 75,09; n = 196; 
10. х = 75,08; n = 225; 
Образец решения задания 18. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю х = 75,16 объемом выборки n =49 и среднее квадратичное отклонение =7.
Доверительный интервал:
; g =0,95 = 2 Ф (t) => Ф (t) = 
= 0,475 => t = 1,96.=>
=>
