Термически толстое тело.

Рассмотрим задачу о теплообмене с полубесконечным изоливарованным с боковой поверхности стержнем, на поверхность которого падает поток . В результате взаимодействия потока с поверхностью тела происходит повышение температуры поверхности , и начальная разность температур среды и тела переходит в разность , а тепловой поток, идущий внутрь тела запишется как:

(11)

Выражение (11) определяет тепловой поток, записанный в форме Ньютона-Рихмана. При этом начальный тепловой поток при будем и дальше считать падающим . В выражении (11) величина называется коэффициентом теплоотдачи от среды к телу, коэффициент теплоотдачи определяется в основном физическими свойствами среды и интенсивностью динамического (конвективного) взаимодействия между средой и повехрностью. В результате на границе раздела будет выполняться соотношение

(12).

Выражение (12) отражает тот факт, что первоначально падающий тепловой поток на поверхность тела со временем уменьшается на величину , а поток q_Видет внутрь тепла и нагревает его.

Граничное условие на поверхности тела для потока имеет вид:

, x=0

Здесь λ – коэффициент теплопередачи материала стержня, x=0 на поверхности тела (рис.3).

Теплоизоляция с боков

В результате задача сводится к решению уравнения теплопроводности с граничными условиями третьего рода:

0≤х<∞ (14)

Условия на бесконечности , x ∞

Решение поставленной задачи имеет вид [1]:

(15)

Здесь

(16)

В дальнейшем мы будем интересоваться преимущественно температурой и плотностью теплового потока на поверхности х=0. Для этого случая:

, (17)

где

Функция erfx называется интегралом ошибок и ее значение берется в таблицах [2]

erf(o)=0, erf(∞) = 1

Из физических соображений ясно,что при t , то есть произведение

выражением (17) пользоватся затруднительно. При больших значениях произведение можно представить как: [2]

Cледовательно, решение (17) при больших значениях можно записать:

При > 8 будем считать величину в квадратных скобках равной 1 и, тогда

Из этого выражения легко получить

(18)

А если вспомнить, что тепловой поток, идущий внутрь тела , то получим для потока внутрь:

(19)

Для

Но если вспомнить, что величина есть ничто иное как приближенное значение величины при , то становится очевидным, что для любых значений

Произведение exp и erfc считать затруднительно, поэтому как и в случае подыщем более удобные приближенные значения при

Для малых значений произведение разлагается по степеням и получаются результаты:

) + …, а следовательно

0<t/t3<0.5 (23)

0.5<t/t3<25 (24)

t/t3≥25 (25)

Выражения (23)-(25) пригодны для определения температуры поверхности так как .

Коэффициент теплоотдачи определяется из условий задачи. Тепловой поток, идущий в конструкцию, можно определить из уловия:

t/t3>25 (26)

, 0.5<t/t3<25 (27)

, 0<t/t3<0.5 (28)

В выражении (26) условие , заменим более точным . Выражения (23)-(28) применяют для термически толстых тел. Термически толстым телом считается тело толщиной 𝝳 в течение времени t< или Fo<0,5. В течение этого времени тепловое возмущение на обогреваемой поверхности x=0 не получит сигнала от условий на границе х = , то есть как будто .

Пример. 1) Рассмотреть изменение температуры поверхности бетонной стены. Стена имеет следующие параметры: 𝝳=30 см, . На стену падает тепловой поток начальная температура стены Т0=20

1) Определяется время, в течение которого стена является термически толстым телом:

2) Характерное время изменения температуры поверхности стены:

3) Предельная температура, до которой может нагреться поверхность стены, определяется из условия, что внутрь стены тепло не поступает . Следовательно:

Предельная температура равна:

Температура поверхности стены, в момент соответсвующий когда кончается выполнение условия, что конструкция является термически толстым телом, вычисляется из выражения (25) при t=6.67*10⁴ сек

Температура, соотвествующая времени t/t3=25:

t/t3=12.5 по выражнию (24):

Далее расчет ведется по соотношению (23)

Термически тонкое тело.

Рассмотрим задачу о нагревании (об охлаждении) плоской пластины в следующей постановке (рис.4)

Пластина имеет толщину 𝝳, свойства материала пластины

Рис. 4

Рис.4

Уравнение теплопроводности:

, Начальное условие

Граничное условие

Проинтегрируем по Х уравнение теплопроводности от 0 до 𝝳. Введем понятие средней по толщине температуры пластины:

В результате получим:

(29)

То есть уравнение (29) есть обыкновенное дифференциальное уравнение для определения средней по толщине температуры пластины в разные моменты времени, однако необходимо найти связь между средней температурой и температурой поверхности.

Перепишем последнее уравнение в виде:

Величина является характерным масштабом времени прогрева пластины по толщине. То есть определяет темп изменения средней температуры пластины. Сравним характерное время t1 и t2 и получаем:

Bi – число Био показывает как быстро выравнивается температура пластины по сравнению с ее прогревом как целого. И поскольку t1 характеризует время выравнивания температуры по толщине, а t2 время прогрева как целого, то при Bi выравнивание температуры происходит очень быстро, и мы имеем по существу пластину с однородной температурой по толщине.

Таким образом, при малых значениях числа Био можно считать, что температура пластины по толщине одинаковое и в уравнениях (29-29а) можно положить . В этом случае уравнение (29а) перепишется в виде:

Если температуру выразить в величинах начальной температуры Т0, то есть , а время в величинах t2, то есть , то уравнение (31) примет безразмерный вид:

(33)

С начальным условием = 1. Решение этого уравнения при Тс= const имеет вид:

(33)

(34)

или в размерном виде:

(34а).

Полученное решение справедливо для случая Тс=const. Если температура среды меняется, то решение несколько усложняется.

Итак, уравнение для температуры термически тонкой пластины имеет вид:

Температура среды зависит от времени. Решение в этом случае имеет вид:

(35)

Константа С определяется из начальных условий. Для практических расчетов будем считать, что при Bi≤0.1 тело можно считать термически тонким. Для термически тонкого тела требование теплоизоляции при x= необязательно, и теплообмен может осуществляться с двух сторон. Приведем примеры определения температуры термически тонкого тела.

Пример. Металлическая пластина толщиной 2 см разделяет два потока воздух с температурой . Коэффициент теплоотдачи с горячей стороны ; с холодной стороны . В начальный момент температура пластины 20 Определить изменение температуры со временем и изменение тепловых потоков в обе стороны, для пластины .

Уравнение баланса энтальпии пластины:

Очевидно, что температура пластины будет удовлетворять условию

, поэтому второй член в правой части вычитается, так как на этой стороне происходит охлаждение. Предположим, что пластина термически тонкая и тогда

где , – эквивалентная температура среды.

Проверка дает Bi= . Это означает, что пластина является термически тонким телом. Далее используется решение (34)

, при t

температура пластины стремится к величине

Тепловой поток из среды 1 в пластину:

Вычислим следующие величины:

Тепловой поток, уходящий в холодную сторону:

При t тепловые потоки выравниваются, причем тепловой поток с горячей стороны всегда больше, и пластина нагревается.

Пример. Определить изменение температуры поверхности стального листа толщиной 5 мм, если температура среды меняется по закону

Определить минимальный расход воды, необходимый для орошения поверхности, чтобы температура не превышала 600 .

Величина Коэффициент теплоотдачи 20

Минимальный расход воды будет соответствовать моменту, когда температура листа будет максимально допустимой 600 . Этот расход должен компенсировать поток идущий внутрь листа в этот момент.

Уравнение теплового баланса для листа:

или

Используя (35) получается:

Здесь 1,99=

Учитывая, что при t ̅=0 получаем для С1= - 60,1.

В результате получаем решение

Из последнего выражения необходимо найти время, когда Т=600 или

, то есть решить уравнение -11+60,1 .

Примем, что .

Если теперь положить .

В результате получается решение и

В этот момент тепловой поток, идущий внутрь листа равен:

Минимальный расход воды(распыленной) определяется из условия:

()=4270 Вт/м²

Если учесть, что пар нагревается выше температуры кипения до , то в знаменателе еще появится слагаемое:

В этом случае =1,36

3.4. Случай плоской пластины

В общем случае для плоской пластины толщиной , когда она и не термически толстая и не термически тонкое, при граничных условиях:

и начальных условиях решение имеет вид бесконечного ряда []

(36)

(37)

где корни характеристического уравнения:

(38)

Особенность корней последнего уравнения состоит в том, что эти корни возрастают с увеличением номера. При малых значениях первый корень , а при . Далее корни растут примерно на . Так при малых и при больших . Если учесть, что зависимость решения (36) от времени определяется множителем , то с увеличением номера этот множитель значительно уменьшается. При консервативной оценке: и

Кроме того, уменьшается с ростом номера величина , которая к тому же является знакопеременной. В результате отмеченных свойств величин и ряд (36) быстро сходится и при учет только одного первого члена ряда обеспечивает точность для температуры поверхности 0,5% [1]. При предыдущем рассмотрении термически толстых тел было установлено, что для времен соответствующих при определении температуры поверхности, а следовательно, и потока тепла внутрь тела, справедливо использовать выражения для термически толстого тела, а для случая достаточно использовать только один первый член ряда. Однако значения и зависят от , поэтому необходимо пользоваться таблицами значений , () и и , что неудобно. Из (37) и (38) легко увидеть, что при изменении от 0 до изменяется от до , от 1 до 1,2732. Таким образом, при малых и тоже малый, поэтому для , получим разложение (37) и (38)

Температура поверхности в этом случае выражается

(39)

В случае, если падающий потом чисто конвективный, то

При малых выражение (39) переходит в выражение для термически тонкого тела .

(40)

Нетрудно видеть, что . Сравнение с решением (36) показывает, что при решение (39) дает хорошие результаты с точностью до 3%. Чтобы получить решение при больших значениях воспользуемся свойством при . Представим , где и тогда из (38) следует:

В результате приближенного решения последнего уравнения получается:

(41)

где
; (42)

При заданном по (42) определяем и , а затем по (41) и, наконец, по первому члену ряда определяем температуру:

(43)

Выражения (41) и (42) можно использовать при до . При больших [3]

(44)

При вычислениях следует всегда иметь ввиду, что выражения (39), (41), (42), (43), (44) следует применять только при . Для более ранних стадий прогрева следует применять выражения для термически толстых тел. Выражения (41), (42), (43) тем точнее, чем больше .

Пример: Определить температуру поверхности бетонной плиты . На одну поверхность падает тепловой поток , другая поверхность теплоизолирована. Поверхность плиты охлаждается конвективным потоком воздуха, температура которого , коэффициент теплоотдачи конвекции .