При выполнении теплофизических расчетов часто необходимо пользоваться результатами решения уравнения теплопроводности.
В одномерном случае это уравнение записывается в виде:
(1)
Для выбора решения данного уравнения следует определить начальные условия для температуры в рассматриваемой области, то есть задать поле температуры в начальный момент времени 
. В дальнейшем будет часто использоваться условие 
. Это означает, что в начальный момент температура одинакова. Для того, чтобы уравнение (1) приобрело смысл, необходимо, чтобы на границе области или внутри неё появились источники тепла, произошло изменение температуры и возникли тепловые потоки.
Тепловые потоки имеют следующую природу:
1. Кондуктивный тепловой поток
(Закон Фурье) (2)
Это выражение означает, что величина теплового потока через единицу площади в единицу времени 
пропорциональна коэффициенту теплопроводности материала конструкции (или вещества среды) 
]=[ 
и направление теплового потока всегда в сторону уменьшения температуры (знак минус). Кондуктивный тепловой поток определяется только градиентом температуры 
и свойствами среды λ. Коэффициент теплопроводности зависит от свойств среды, в которой рассматривается тепловой поток, и от температуры этой среды. Таким образом, если задать на границах области температуру, отличающуюся от начальной температуры среды внутри области, то возникает тепловой поток внутрь области, если на границе температура 
и из области, если температура на границе 
(рис.1)
|
|
|
| Рис.1 Направление тепловых потоков в случае задания температуры на границах области |
|
|
| X |
В результате задания условий на границе(граничные условия), вместе с начальными условиями 
и уравнением (1), формулируется задача о решении уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода (рис.1).
| Граничные условия (5) |
(3)
начальные условия (4)
удельная теплоемкость среды 
;
плотность среды 
;
В случае,когда коэффициент теплопроводности не зависит от координаты «x» (однородная среда), уравнения (1) и (3) запишутся как
(6)
Или
(7)
где 
– коэффициент температуропроводности.
Для задачи о плоской пластине (рис.1) имеется характерный размер 𝝳 (толщина). Введем характерное время изменения локальной температуры пластины 
, и тогда в безразмерных переменных 
уравнение теплопроводности примет вид:
(8)
Если в качестве 
, то уравнения (6) и (8) запишутся в виде:
,
(9)
Из (8) и (9) следует, что температура в соответсвующих точках 
изменяется во времени в соотвествие с изменением комплекса Fo = 
– числа Фурье.
При помощи числа Fo можно сравнивать изменение температуры во времени для различных сред. Число Фурье, таким образом, характеризует время изменения локальной температуры, то есть характеризует время прохождения теплового потока по толщине конструкции.
Случай с граничными условиями первого рода важен при стационарном процессе, когда 
и тогда из λ 
что означает постоянство теплового потока.
Интегрирование последнего уравнения дает:
При λ= const: 
При 
и 
При стационарном распределении температуры тепловой поток постоянный:
|
| Рис.2 |
| T` |
|
|
|
|
