Модель оптимального экономического роста

Ррассмотрим траекторию экономического роста с точки зрения аспекта потребления.

По существу, экономическая траектория - это кривая изменения (фазового) состояния экономики во времени под воздействием различных управляемых и неуправляемых факторов. Если не принимать во внимание существование непредсказуемых факторов, то можно говорить, что рычаги управления экономикой принадлежат ее участникам: одни - потребителям, вторые - производителям, третьи - государству. Каждый управляет своими рычагами, исходя из собственного интереса. Под воздействием управляющих параметров вектор состояния экономики приходит в движение, т.е. описывает некоторую кривую в фазовом пространстве (в пространстве состояний). Причем каждому «положению» этих рычагов соответствует своя траектория. Задача экономического управления (планирования) заключается в том, чтобы была реализована наиболее эффективная (оптимальная) траектория.

Известно достаточно много желательных условий, которые можно предъявить к экономической траектории. Это и конкурентная равновесность, это и соответствие максимальному сбалансированному темпу роста (т.е. «магистральность»), это и оптимальность в смысле максимизации или минимизации какой-либо целевой функции.

Актуальность исследования моделей роста должна будет подняться на новый уровень в связи со становящейся все более популярной в последнее время концепцией устойчивого развития человеческого общества. Суть устойчивого развития можно пояснить, как стремление общества к удовлетворению потребностей ныне живущих людей без лишения возможности будущих поколений удовлетворять свои потребности. Учет этой концепции при разработке долгосрочного экономического плана развития предполагает разрешение дилеммы, связанной с распределением благ на настоящее и будущее потребление. Обеспечение будущего потребления принято называть инвестициями или капитальными вложениями.

С точки зрения настоящего момента более высокий уровень потребления предпочтительнее более низкого. Однако высокий уровень потребления влечет меньшие капитальные вложения (на будущее потребление). Поэтому вдоль траектории экономического роста возникает задача выбора оптимальной политики потребления. Так мы приходим к задаче об оптимальном с точки зрения потребления экономическом росте. Ее мы будем формализовать как динамическую оптимизационную модель и анализировать с помощью понятий математической теории оптимального управления.

По своей сути задача об оптимальных пропорциях потребления и инвестиций больше относится к макроэкономике, т.е. к агрегированным моделям. Поэтому ее мы смоделируем для экономики, производящей один (национальный) продукт с использованием двух основных факторов производства - труда и капитала (основных производственных фондов). На таком макроуровне все величины представляются в их стоимостном измерении. Поэтому валовый продукт ассоциируется с национальным доходом, а потребление и инвестиции составляют национальные расходы.

Можно представить следующую схему распределения национального дохода:

 

Рис. 6.1 Схема распределения национального дохода

 

Введем необходимые обозначения. Согласно общепринятой традиции для агрегированных моделей будет означать валовый выпуск в год , - объем потребления, - инвестиции (валовые капитальные вложения), - трудовые ресурсы, - капитал (основные фонды).

Для упрощения модели будем предполагать, что в рассматриваемом (планируемом) периоде времени импорта и экспорта нет, и технический прогресс отсутствует. Подчеркнем, что обобщение модели с учетом этих важных условий функционирования экономики не составляет труда, но загромождает модель.

Пусть валовый выпуск определяется с помощью агрегированной производственной функции :

(6.3.1)

Отсутствие технического прогресса означает, что производственная функция F инвариантна во времени. Относительно нее будем предполагать выполненными закон об убывающей доходности (см. (3.2.2), (3.2.3)) и свойство однородности первой степени, т.е.

Бюджетный баланс требует, чтобы в каждый год t выполнялось равенство

(6.3.2)

Равенство (6.3.2) отражает соответствие расходов общества его доходам и показывает, что на макроуровне ежегодно весь национальный доход делится на потребление и инвестиции, т.е. между настоящим и будущим потреблением.

Обозначим через долю инвестиций в национальном доходе в год . Тогда

Как следует из рис.6.1, валовые капитальные вложения, в свою очередь, идут на увеличение наличного капитала с целью приращения основных фондов (чистые капитальные вложения) и на замещение изношенного капитала, т.е. на восстановление изношенной части основных производственных фондов (амортизационные отчисления).

Предположим, что основные фонды изнашиваются с темпом , т.е. за год из строя выходит единиц основных фондов. В силу обозначений и характеризуют основные фонды в начале и в конце периода . Следовательно, приращение основных фондов за год есть Поэтому объем инвестиций должен удовлетворять условию

(6.3.3)

Отсюда получаем динамику чистого капитального вложения (уравнения движения основных фондов)

где - начальные вложения в основные фонды, а - горизонт планирования. Это есть аналог основного уравнения экономического роста в агрегированных показателях.

Для построения требуемой модели оптимального экономического роста в виде задачи оптимального управления нам нужно ввести понятия фазового состояния экономики, управляющих параметров, построить уравнение движения, определить начальное состояние и критерий качества (целевой функционал). Такую модель называют неоклассической моделью оптимального экономического роста. Чтобы определить перечисленные элементы модели, оперируют «экономическими нормами», приходящимися на одного рабочего (на одну единицу трудовых ресурсов).

Для перехода к новой терминологии, связанной с нормами на одного рабочего, положим коэффициент однородности производственной функции равным , т.е. . Это число можно определить как «доля одного рабочего от целого» в момент . Тогда из (6.3.1) получаем или

Отношение называется, (см. раздел 3.3), фондовооруженностью или капиталовооруженностью и показывает долю основных фондов или долю капитала, приходящуюся на одного рабочего.

Обозначим объем валового выпуска и фондовооруженность, приходящиеся на одного рабочего, соответственно через и :

и введем новую производственную функцию :

Тогда вместо (6.3.1) можно написать

Соответствующим образом введем величину потребления и инвестиций, приходящиеся на одного рабочего:

В новых обозначениях баланс (6.3.2) примет вид

(6.3.4)

а равенство (6.3.3) для валовых инвестиций –

(6.3.5)

(здесь мы положили ).

Подставляя в (6.3.4) выражение для инвестиций (6.3.5), получаем

(6.3.6)

Равенство (6.3.6) показывает, что выпуск продукции, приходящийся на одного рабочего, распределяется на три составные части: потребление на данного рабочего, поддержание (амортизацию) его капиталовооруженности на прежнем уровне и чистый прирост капиталовооруженности рабочего.

Уравнение (6.3.6) называется основным (разностным) уравнением неоклассической модели экономического роста.

Приведем геометрическую интерпретацию основного уравнения (рис. 6.2). Перепишем основное уравнение в виде

(6.3.7)

 

 

Рис. 6.2 Геометрическая иллюстрация основного уравнения

 

На рис. 6.2 график функции получен как разность графиков функций и В точке достигается максимальное значение этой функции, а в точке она равна нулю. Благодаря предположению об убывающей доходности относительно функции , точка максимума существует и единственна. Рассмотрим три случая: )нулевой уровень потребления на одного рабочего ; b) максимальный объем потребления на одного рабочего (); c) потребление рабочего на фиксированном уровне

Случай a) не имеет экономически осмысленной интерпретации и приводится для полноты математических рассуждений, как один из крайних случаев распределения национального дохода, предполагающий направление всего дохода на инвестиции. В случае b) максимальный уровень потребления соответствует точке максимума функции . Максимальный уровень капиталовооруженности находится как решение уравнения

и называется уровнем золотого правила накопления. При этом максимальный уровень потребления выражается равенством

(когда ) и называется уровнем золотого правила потребления. В промежуточном случае c) линия потребления на одного рабочего пересекает кривую (6.3.7) в двух точках, соответствующих фондовооруженностям и . Это есть два состояния «равновесия», из которых наиболее предпочтительным является , так как оно соответствует более высокому уровню фондовооруженности, что в свою очередь способствует большему выпуску продукции на одного рабочего (см. (6.3.6)).

В неоклассических моделях роста под состоянием экономики (фазовой координатой системы) принято понимать фондовооруженность на одного рабочего . Поэтому уравнение движения должно быть построено относительно этого параметра. Нужный закон движения получим из основного уравнения экономического роста (6.3.6), переписав его в виде

(6.3.8)

Получили закон изменения фондовооруженности во времени.

Предположим, что в начальный момент эта величина задана и равна :

(6.3.9)

С точки зрения макроэкономического управления, управляющим параметром является потребление на одного рабочего По правилам теории оптимального управления необходимо определить класс допустимых управлений для системы (6.3.8)-(6.3.9). Допустимым управлением будем называть любую последовательность которая в каждый момент t удовлетворяет условию

(6.3.10)

Заметим, что слева берется нестрогое неравенство ради замкнутости множества значений управляющего параметра в каждый момент времени, без чего оптимальное управление может и не существовать. Множество всех допустимых управлений обозначим символом

Для окончательного построения оптимизационной модели остается сконструировать соответствующий содержанию рассматриваемой задачи функционал качества, оценивающий уровень достижения той или иной экономической цели. С учетом агрегированности модели такая цель должна быть глобальной и нацеленной на повышение благосостояния общества. Так как попытка определения совокупной функции полезности для общества в целом сопряжена с рядом сложностей, о которых подробно говорилось в разделе 4.2, то в качестве целевого функционала в макромодели рассматривают функцию полезности u, оценивающую уровень потребления одного (обобщенного) рабочего.

Целевой функционал обычно задается на множестве допустимых траекторий системы (6.3.8)-(6.3.10). Однако такое определение здесь не учитывает специфику понятия полезности применительно к долгосрочному планированию.

Действительно, для динамической системы (6.3.8)-(6.3.10) введем понятие терминального множества, которое обозначим буквой . Это подмножество фазового пространства системы (6.3.8) -(6.3.9), состоящее из тех его точек, в которые желательно привести состояние экономики к плановому горизонту , т.е. это есть множество конечных точек траекторий системы (6.3.8)-(6.3.9), в одной из которых должна находиться экономика в момент . В частности, множество может состоять из одной точки.

Допустимой траекторией динамической системы (6.3.8)-(6.3.9) называется всякая последовательность удовлетворяющая уравнению (6.3.8) и такая, что

Теперь можно формализовать выбор оптимального управления системой (6.3.8)-(6.3.9) следующим образом. Планирующий орган выбирает некоторое допустимое управление Подставляя это управление и начальное состояние (6.3.9) в правую часть уравнения движения (6.3.8), находим соответствующую траекторию Каждому управлению соответствует своя траектория. Таким образом, множеству допустимых управлений соответствует множество всех траекторий системы (6.3.8)-(6.3.9):

Из этого множества траекторий представляют интерес только те, которые приводят систему в заранее заданное терминальное множество :

Оптимальной траекторией системы (6.3.8)-(6.3.10) называется такая траектория вдоль которой функционал качества (функция полезности) принимает максимальное значение.

Задание функции полезности вдоль допустимой траектории означает, что (или в более общем случае ), так что , где Так как требуется с помощью функции оценить потребление (а не фондовооруженность), то, во-первых, мы должны определить ее на множестве допустимых управлений:

т.е.

где Во-вторых, и это самое главное, полезность не учитывает несовпадение оценок полезностей от потребления товаров в различные моменты времени. Поскольку план развития экономики составляется в начальный момент времени на весь период , то не существует возможности оценить полезность от потребления на уровне в момент . Для этого надо дожить до момента , т.е. это можно сделать только в момент . Зато мы можем «трансформировать» эту полезность к начальному моменту, т.е. оценить полезность с точки зрения начального момента

С учетом того, что потребление имеет здесь стоимостное измерение, по правилам сложного процента имеем т.е. через периодов вложение (в момент дает . Это есть оценка потребления с точки зрения будущего, которая называется наращением уровня потребления с нормой процента Из этой формулы получаем Это есть оценка потребления в момент с точки зрения настоящего, называемая дисконтированием уровня потребления с коэффициентом

Коэффициент дисконтирования отражает предпочтительность близких во времени потреблений.

Согласно схеме дисконтирования, функцию полезности от потребления нужно определить в каждый год и в качестве целевого функционала, оценивающего уровень потребления на всем интервале , взять суммарную дисконтированную полезность

(6.3.11)

где - определенная на множестве допустимых уровней потребления в год функция полезности.

Окончательно неоклассическая модель агрегированной задачи оптимального экономического роста в целом имеет вид:

(6.3.12)

 

Эту же модель иногда называют задачей рационального ведения хозяйства.

Допустимое управление соответствующее максимальному значению функционала (6.3.11), называется оптимальным управлением. Оно определяет оптимальный уровень потребления на одного рабочего в каждый год Поэтому для каждого фиксированного значения трудовых ресурсов можно найти оптимальные пропорции потребления и инвестиций, где

а - точка оптимальной траектории задачи (6.3.12).