Задание 61. Определите взаимное расположение прямых и плоскостей, проходящих через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
1. СА и (DCB); ВA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB);
BC 1 и (DD 1 C 1); B 1 C и DC 1; D D 1 и CC 1;
BB 1 и DC; A 1 B1 и BC; (A 1 BB1) и (CDC 1).
2. СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
BB 1 и AC; A 1 B и BC; A 1 B и DC 1.
3. СС 1 и (A CB); AA 1 и (DCC1); D 1 C 1 и (A CB);
B 1 C и (DD 1 C 1); BC 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC;
BB 1 и AC; A 1 B и DC; (A 1 BC) и (ADD 1).
4. СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B)и (DCC 1).
5. B 1 C и DC 1; D D 1 и CC 1; BC 1 и (DD 1 C 1);
BB 1 и DC; A 1 B 1и BC; (A 1 BB 1 ) и (CDC 1);
СА и (DCB); ВA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB);
6. BB 1 и AC; A 1 B и BC; (A A 1 B) и DD1C;
СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1.
7. B 1 C и (DD 1 C 1); BC 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC;
СС 1 и (A CB); AA 1 и (DCC1); D 1 C 1 и (A CB);
BB 1 и AC; A 1 B и DC; (A 1 BC)и (ADD 1).
8. B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и (DCC 1).
9. СА и (DCB); ВA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB);
BC 1 и (DD 1 C 1); B 1 C и DC 1; DD 1 и CC 1;
BB 1 и DC; A 1 B 1и BC; (A 1 BB 1) и (CDC 1).
10. СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и DD1C.
11. СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и (DCC 1).
12. B 1 C и DC 1; DD 1 и CC 1; BC 1 и (DD 1 C 1);
BB 1 и DC; A 1 B 1и BC; (A 1 BB 1) и (CDC 1);
СА и (DCB); ВA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB).
13. BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B)и (DD 1 C);
СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1.
14. B 1 C и (DD 1 C 1); BC 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC;
СС 1 и (A CB); AA 1 и (DCC 1); D 1 C 1 и (A CB);
BB 1 и AC; A 1 B и DC; (A 1 BC) и (ADD 1).
15. B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и (DCC 1).
16. BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и DD 1 C;
СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1.
17. A 1 B и DC; BC 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC;
СС 1 и (A CB); AA 1 и (DCC 1); D 1 C 1 и (ACB);
BB 1 и AC; B 1 C и (DD 1 C 1); (A 1 BC)и (ADD 1).
18. BB 1 и AC; B 1 C 1 и DC 1; СА и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); ВA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB);
D 1 C 1 и (CBD); A 1 B и BC; (AA 1 B)и (DCC 1).
19. СA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB); A 1 D 1 и DC 1;
BC 1 и (DD 1 C 1); B 1 C и DC 1; DD 1 и CC 1;
BB 1 и DC; A 1 B 1и BC; (A 1 BB 1) и (CDC 1).
20. СС1 и (DCB); AA1 и (DCB); D1C1 и (DCB);
B1C1 и (DD1C1); B1C1 и DC1; A1D1 и DC1;
BB1 и AC; A1B и BC; (AA1B)и DD1C.
21. СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B)и (DCC 1).
22. B 1 C и DC 1; DD 1 и CC 1; BC 1 и (DD 1 C 1);
BB 1 и DC; A 1 B 1 и BC; (A 1 BB 1) и (CDC 1);
СА и (DCB); ВA 1 и (DCB); D 1 А 1 и (DCB).
23. BB 1 и AC; A 1 B и BC; (AA 1 B) и (DD1C);
СС 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (DCB);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1.
24. BC 1 и DC 1; B 1 C и (DD 1 C 1); A 1 D 1 и DC;
СС 1 и (A CB); AA 1 и (DCC1); D 1 C 1 и (A CB);
BB 1 и AC; A 1 B и DC; (A 1 BC) и (ADD 1).
25. A 1 B и BC; B 1 C 1 и DC 1; A 1 D 1 и DC 1;
СA 1 и (DCB); AA 1 и (DCB); D 1 C 1 и (CBD);
B 1 C 1 и (DD 1 C 1); BB 1 и AC; (AA 1 B)и (DCC 1).
Задание 62. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.
1. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AB.
2. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСB.
3. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой AD.
4. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости A 1 AB.
5. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A 1 B 1.
6. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AСD.
7. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CD.
8. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA 1 B 1.
9. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B 1 C 1.
10. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости AA 1 D 1.
11. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой C 1 D 1.
12. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости BB 1 C 1.
13. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B 1 B.
14. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости ADD 1.
15. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой D 1 D.
16. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости DD 1 C 1.
17. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой A 1 D 1.
18. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B 1 C 1 B.
19. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой CC 1.
20. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B 1 C 1 D 1.
21. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой BA.
22. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости B B 1 C.
23. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой B 1 C 1.
24. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно плоскости CB 1 C 1.
25. Найти все прямые и плоскости, проходящие через вершины куба перпендикулярно прямой DA.
Задание 63. Решите расчетные задачи по теме «Прямая и плоскость.
1. Из данной точки на плоскость опущен перпендикуляр и проведены две наклонные. Одна наклонная на 6 см длиннее другой. Их проекции на плоскости соответственно равны 27 см и 15 см. Найти длину перпендикуляра.
2. Отношение длин двух отрезков, каждый из которых соединяет точки параллельных плоскостей, равно 2: 3. Эти отрезки с плоскостями составляют углы, отношение которых равно 2. Найти косинус большего из этих углов.
3. Угол между плоскостями α и β равен 600. Расстояние от точки А на плоскости α до линии пересечения плоскостей равно 3. Найти расстояние от точки А до плоскости β.
4. Из одной точки плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 1: 2. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны 1 и 7.
5. Из точки О пересечения диагоналей равнобедренной трапеции к плоскости трапеции восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 15 см. Длина диагонали трапеции 12 см, при этом меньшее основание в два раза короче большего основания. На каком расстоянии от вершины большего основания находится точка М?
6. Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Через точки В и С этого отрезка проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках B 1 и C 1соответственно. Найдите длину отрезка ВB 1, если СC 1= 15 см и АС: ВС = 2: 3.
7. Стороны треугольника 10, 17 и 21 см. Из вершины наибольшего угла восстановлен перпендикуляр к плоскости треугольника, длина которого 15 см. Найти расстояние от конца (не лежащего на плоскости) перпендикуляра до наибольшей стороны треугольника.
8. Плоскости α и β пересекаются под углом 450. Расстояние от точки А на плоскости α до плоскости β равно 2. Найти расстояние от точки А до линии пересечения плоскостей.
9. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Конец В отрезка отстоит от плоскости α на расстоянии 8. На каком расстоянии от плоскости находится конец А отрезка, точкой О отрезок АВ делится в отношении АО: ОВ = 3: 2?
10. Концы двух отрезков с длинами 10 и 15 см лежат на параллельных плоскостях. Чему равна проекция второго отрезка на одну из этих плоскостей, если проекция первого отрезка на эту плоскость равна ?
11. Катеты прямоугольного треугольника 12 и 16 см. Найти расстояние от точки, отстоящей от вершин треугольника на 26 см, до плоскости треугольника.
12. Через центр О квадрата АВСD проведен перпендикуляр OF к плоскости квадрата. Найти угол между плоскостями BCF и АВСD, если FB = 5, ВС = 6.
13. Из данной точки к плоскости проведены две наклонные, разность длин которых равна 6. Проекции наклонных на эту плоскость равны 27 и 15. Найти расстояние от данной точки до плоскости.
14. Через вершину В прямого угла треугольника АВС проведена прямая b, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми b и AD, если АВ = 3 и BD = 4.
15. Из одной точки к плоскости проведены две наклонные, отношение длин которых равно 3: 5. Найти длины этих наклонных, если их проекции соответственно равны и 17.
16. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью угол 450, а между собой угол в 600. Найти расстояние между концами наклонных.
17. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии b, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 300 и 450, а между собой прямой угол. Найти расстояние между концами наклонных.
18. Через вершину С прямого угла треугольника АВС проведена прямая а, перпендикулярная плоскости треугольника. Найти расстояние между прямыми а и AВ, если АС =15, BС = 20.
19. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 23 и 33 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2: 3.
20. Из данной точки проведены перпендикуляр и две наклонные к прямой. Наклонные равны 41 и 50 см. Проекции наклонных на прямой относятся как 3: 10. Найти длину перпендикуляра.
21. Отрезок АВ пересекает плоскость α. Его концы отстают от плоскости на расстоянии 2 и 4 см. Найти угол между этим отрезком и плоскостью α, если проекция отрезка на плоскость равна 6 см.
22. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 13 и 37 см. Найти расстояние от точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 1: 7.
23. Из точки к плоскости проведены две наклонные длиной 10 и 15 см. Найти проекцию второй наклонной на эту плоскость, если проекция первой равна 7 см.
24. Расстояния от точки А до граней прямого двугранного угла равны 5 и 12 см. Найти расстояние от точки А до ребра двугранного угла.
25. Из точки к плоскости проведены две наклонные, длины которых относятся как 5: 6. Найти расстояние от этой точки до плоскости, если соответствующие проекции наклонных равны 4 см и 4 см.
Тема 29. Многогранники
Задание 64. Найдите длины диагоналей, площадь диагонального сечения, площадь полной поверхности и объем куба, ребро которого равно а. Построить куб и развертку куба.
1. а = 2 м. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.
4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.
7. а = 2 м. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.
10. а = 2 м. 11. а = 11 см. 12. а = 14 см.
13. а = 4 м. 14. а = 7 см. 15. а = 9 см.
16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.
19. а = 12 м. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.
22. а = 4,2 м. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 м.
25. а = 25 м.
Задание 65. Найдите длины диагоналей, площадь полной поверхности и объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с. Построить развертку полной поверхности параллелепипеда.
1. а = 1 см, b = 3 см, с = 4 см. 2. а = 1 см, b = 3 см, с = 4 см.
3. а = 5 см, b = 7 см, с = 6 см. 4. а = 10 см, b = 3 см, с = 9 см.
5. а = 4 см, b = 8 см, с = 9 см. 6. а = 7 см, b = 4 см, с = 5 см.
7. а = 5 см, b = 9 см, с = 7 см. 8. а = 10 см, b = 4 см, с = 3 см.
9. а = 3 см, b = 3 см, с = 6 см. 10. а = 8 см, b = 2 см, с = 4 см.
11. а = 9 см, b = 8 см, с = 6 см. 12. а = 6 см, b = 3 см, с = 9 см.
13. а = 9 см, b = 7 см, с = 5 см. 14. а = 5 см, b = 6 см, с = 7 см.
15. а = 4 см, b = 8 см, с = 3 см. 16. а = 3 см, b = 4 см, с = 5 см.
17. а = 5 см, b = 1 см, с = 6 см. 18. а = 2 см, b = 3 см, с = 4 см.
19. а = 8 см, b = 8 см, с = 5 см. 20. а = 5 см, b = 6 см, с = 7 см.
21. а = 2 м, b = 4 м, с = 2 м. 22. а =16 см, b =4 см, с = 5 см.
23. а = 9 м, b = 1 м, с = 6 м. 24. а = 6 см, b = 3 см, с = 7 см.
25. а = 1 м, b = 8 м, с = 4 м.
Задание 66. Найти площадь полной поверхности и объем правильной треугольной призмы, у которой каждое ребро равно a. Построить развертку полной поверхности призмы.
1. а = 2 см. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.
4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.
7. а = 2,5 см. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.
10. а = 7 см. 11. а = 11 см. 12. а = 14 см.
13. а = 4 м. 14. а = 40 см. 15. а = 9 см.
16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.
19. а = 12 м. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.
22. а = 4,2 см. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 см.
25. а = 25 м.
Задание 67. Найдите апофему, высоту, площадь полной поверхности и объем правильной четырехугольной пирамиды, у которой каждое ребро равно a. Построить пирамиду и развертку полной поверхности пирамиды.
1. а = 22 см. 2. а = 20 см. 3. а = 3 см.
4. а = 10 м. 5. а = 15 см. 6. а = 13 см.
7. а = 14 см. 8. а = 5 см. 9. а = 6 см.
10. а = 20 см. 11. а = 11 см. 12. а = 2,4 см.
13. а = 4 м. 14. а = 7 см. 15. а = 9 см.
16. а = 2,5 м. 17. а = 2,4 см. 18. а = 1,3 см.
19. а = 12 см. 20. а = 21 см. 21. а = 16 см.
22. а = 4,2 см. 23. а = 18 см. 24. а = 3,1 м.
25. а = 25 м.