Связь понятия с представлением

Ø Разбейте текст данного параграфа на части в соответствии со следующей последовательностью вопросов и дайте краткий ответ на каждый из них:

Почему учителю важно уметь отличать понятие от представления?

Чем понятие отличается от представления?

Почему нельзя отождествлять общее и существенное?

Какова роль связи между понятием и адекватными ему представлениями?

Чтобы лучше разобраться в том, что такое понятие, полезно рассмотреть, чем оно отличается от представления, и какое между ними сходство.

Ø Заполните таблицу сравнения определений понятия и представления:

В своё время С.Л.Рубинштейн, характеризуя взаимоотношения между понятием и представлением, сказал так: «Они не тождественны, но между ними существует единство»[3] В этих словах отразилась вся сложность взаимосвязи между понятием и представлением.

Важно понимать причины обсуждения отношения между понятием и представлением. Одна из них заключается в том, что представление также как и понятие может быть абстрактным и обобщённым. Эта общая черта может спровоцировать заблуждение при выявлении этапа (уровня, степени) формирования математического понятия у детей. Возможно и отождествление понятия и представления. Другая причина в том, что применение знаний об отношениях представлений и понятий необходимо для создания условий, как для перерождения житейских понятий в научные, так и для установления связей между научным понятием и конкретной реальностью.

В случае формирования математического понятия по пути «от житейского к научному» представление всё более схематизируется и обобщается в процессе мышления. Причём схематизация, говоря словами С.Л.Рубинштейна, «не сводится к обеднению представления признаками, к простой утрате некоторых черт». По выражению ученого, «она обычно превращается в своеобразную реконструкцию наглядного образа, в результате которой в самом образе выступают на передний план те наглядные черты предмета, которые объективно наиболее характерны и практически существенны для него; несущественные же черты как бы стушёвываются и отступают на задний план». [4]

Организуя мыслительную деятельность учащихся, направленную на «реконструкцию» наглядного образа-представления с целью его «перерождения» в понятие, полезно руководствоваться ещё одним высказыванием С.Л.Рубинштейна. Критикуя одну из концепций о природе и образовании понятия, он обращал внимание на то, что «для общности подлинного понятия необходимо, чтобы оно брало общее в единстве с особенным и единичным и вскрывало в нём существенное».[5] В этих словах отразились два важных аспекта проблемы.

Один из них связан с необходимостью различать общее и существенное. Общее, полученное при сравнении предметов (явлений, событий) может включать в себя как существенные, так и несущественные черты, но лишь существенное составляет содержание понятия. Сколь эта мысль важна для практики формирования понятий у младших школьников, показывает пример.

Допустим, учитель, стремясь представить какое-либо натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств, скажем, число «три», иллюстрирует этот класс с помощью ряда изображений групп, каждая из которых состоит из трёх предметов одного и того же рода. В таком случае в число общих свойств рассматриваемого класса (ряда) попадает не только равное количество элементов множеств (предметов в группах), но и родовой признак предметов, из которых эти множества (группы) составлены.[6] Например, представим, что на одной картинке изображены три берёзы, на другой – три ели, на следующей картинке – три дуба и так далее. При их сравнении создаётся впечатление, что общим свойством моделируемого класса является не только количественный состав множеств, но и то, что любой элемент каждого множества данного класса должен быть деревом. Однако свойство «быть деревом», являясь общим для всех представленных детям изображений, не является существенным признаком натурального числа «три». Оно принадлежит модели исследуемого класса – ряду представленных картинок, а не самому классу, который на самом деле состоит из множеств, чьи элементы могут быть предметами любого рода. Общим и существенным свойством всех предложенных учащимся картинок должно быть одно и то же определённое количество элементов. Важно заметить и то, что описанной модели принадлежит свойство «быть конечным рядом групп», тогда как моделируемый класс – бесконечное множество равномощных конечных множеств. Чтобы исправить положение, очевидно, требуется включить в модель класса конечных равномощных множеств с общим свойством «иметь три элемента» группы предметов различного рода (скажем, группы животных, музыкальных инструментов, геометрических фигур и т.д.) и показать учащимся тенденцию к продолжению данного ряда. Это создаст условия для абстрагирования (отвлечения) учащихся от таких свойств модели, как род предметов, из которых состоят группы и конечность ряда групп. Такое методическое решение будет способствовать выделению существенного признака понятия «три» – определённого количества элементов, которым обладает любое множество, входящее в состав моделируемого класса, например, такое, как множество звуков в слове «сын» или «дочь».

Второй аспект проблемы образования понятия, отразившийся в упомянутом выше высказывании С.Л.Рубинштейна, состоит в необходимости формирования и сохранения связи между понятием и представлением. Отсутствие такой связи отрывает научное знание от реальной действительности, делает его бесполезным, неприменимым при решении жизненных задач. Очевидно, что формированию и сохранению этой связи способствуют упражнения учащихся в восхождении от конкретного к общему, и обратно, от общего к конкретному.

Особое внимание организации такого рода учебной деятельности уделено в учебниках по математике, созданных Н.Б.Истоминой. Одним из примеров методического решения, направленного на формирование связи между представлением и понятием, может служить задание, предлагаемое сразу после ознакомления учащихся с теоретико-множественным смыслом умножения:

a) найди рисунок, которому соответствует выражение 2∙7

b) запиши выражения, которые соответствуют каждому рисунку, и найди их значения.

Ø Выполните задания №№ 2.4.1-2.4.3.

При организации деятельности, направленной на образование у школьников понятий, учителю важно учитывать ещё один важный вывод, сделанный психологами. Исследованиями установлено, что мышление в понятиях нельзя сводить к течению представлений, но в то же время справедливо и то, что «мышление в понятиях реально всегда связано с включающимися в него представлениями».[7] Это легко обнаруживается при анализе действий, к которым прибегает человек в случае затруднения при решении задачи.

Для примера рассмотрим решение задачи:

На сколько C больше D? Если известно, что A больше B на k, C меньше A на m, B больше D на n, и D<C<B.

В ней требуется установить отношения между величинами, ни род, ни значения которых не указаны. Информация об отношениях величин, обозначенных в задаче заглавными буквами латинского алфавита, даётся таким образом, что сразу установить искомые связи затруднительно. Их можно прояснить путём наглядной интерпретации задачи, выполненной с помощью отрезков.

Допустим, что:

А – длина отрезка FE,

В – длина отрезка GE,

С – длина отрезка HE,

D – длина отрезка PE.

Изобразив эти отрезки для сравнения длин, наложенными друг на друга, получим:

Описанный схематическим языком процесс представляет собой оперирование целым комплексом понятий. В его составе понятие величины, числа, отношений больше (на) и меньше (на). Ход приведённых рассуждений примечателен тем, что абстрактные понятия (родовые) этой системы конкретизируются. Например, понятие «величина» заменяется понятием «длина». В систему используемых в процессе решения понятий включается «отрезок». Его использование удобно тем, что длина – единственная величина, которой обладает эта геометрическая фигура. Благодаря тому, что отрезки имеют фиксированную длину, их можно изобразить и сравнить визуально или наложением друг на друга. В этом случае человеку, решающему задачу, ясно видны конкретные длины с численным значением, допустимым условием задачи, а главное, их отношения. На графической модели задачи в виде схематического чертежа показан результат наложения конкретных отрезков. На ней хорошо просматриваются все (согласно условию задачи) данные и искомые отношения длин. К тому же эта модель помогает дополнить условие задачи информацией, важной для её решения. В приведённом примере – это информация о целом и его частях: искомое число – часть числа n, число k – часть числа m, а число m – часть числа (k+n) и т.д. [8]

Характеризуя связь понятий и представлений, важно вспомнить отмеченное С.Л.Рубинштейном основное различие между ними: «Представление является образом, возникающим в индивидуальном сознании, понятие же – опосредованное словом образование, продукт исторического развития».[9] Это различие проявляется в использовании другим человеком, решающим ту же задачу, модели, отражающей иные образы (представления).

Например, он может изобразить совокупности геометрических фигур, выступающих заместителями каких-то реальных предметов, скажем, аквариумных рыбок или различных цветов в букете и т.п.

Допустим, что А, В, С, D – количества квадратов (А), кругов (В), ромбов (С) и треугольников (D). Теперь подберем числа в соответствии с условием задачи. Пусть А – это 14 квадратов, и k=4. По условию А больше B на k, значит, В меньше А на 4. Отсюда, В – 10 кругов (14–4). Исходя из условия, D<C<B<А. Следовательно, приняв, что m=9, то есть B меньше A на 9, получим значение С (количества ромбов): 14–9=5 (ромбов). Предположив, что n=7, и B больше D на 7, вычислим значение D: 10–7=3 (треугольника). Тогда, чтобы узнать, на сколько C больше D, то есть, на сколько количество ромбов больше количества кругов, надо:

1) Узнать, на сколько B больше С, то есть на сколько количество кругов больше количества ромбов.

2) Узнать, на сколько С больше D, то есть на сколько количество ромбов больше количества треугольников.

Или узнать, на сколько А больше D, то есть на сколько количество квадратов больше количества треугольников. Другими словами, по известным частям (n и k) узнать целое – число (n+k), которое одновременно состоит из других частей – искомого и числа m.

А затем узнать, на сколько С больше D, то есть на сколько количество квадратов больше количества треугольников. Другими словами, узнать искомую часть числа n+k (11) по нему и известной его части – числу m (9).

Приведённые примеры наглядно показывают, как влияет на решение задач связь «мышления в понятиях» с представлениями. Становится видно, что тем, у кого эта связь есть, доступно решение задач с помощью той или иной наглядной интерпретации. Используемые при этом модели задачи могут отражать образы, отличающиеся разной степенью абстракции и обобщения. Просматривается и то, что более абстрактные модели (в данном случае схематический чертеж) упрощают процесс решения задачи и помогают быстрее обнаружить разные его способы.

Важно отметить, что как использование, так и выбор вида модели задачи являются признаками того, на каком этапе формирования применяемых в ходе решения понятий находится решающий, какого уровня развития достигло его словесно-логического мышление, его способность к обобщению. Так, если этот уровень достаточно высок, приведённая здесь задача может быть решена исключительно путём рассуждений без применения каких-либо образов. При этом количество вариантов получения искомого числа увеличивается.

Например, расположим данные в задаче величины в последовательности возрастания согласно отношениям, названным в условии. Там говорится, что D<C<B, а величина A больше B и, в силу транзитивности, больше всех остальных. Следовательно, последовательность будет такой: D, С, В, А. Искомое – разностное отношение численных значений С и D, которое является частью числа n, представляющего собой разность между численным значением величины В и величины D. Другими словами, искомое – слагаемое суммы, равной n. Второе слагаемое этой суммы – разностное отношение значений В и С, которое в задаче не дано, но может быть найдено с помощью чисел m и k, так как оно представляет собой часть числа m, то есть одно из слагаемых суммы m, вторым слагаемым которой является число k. Интересующее нас слагаемое суммы m, находится вычитанием известного слагаемого (k) из указанной суммы: m−k. Полученная разность m−k одновременно есть слагаемое другой суммы, значение которой равно n. Неизвестное слагаемое этой суммы, то есть, искомое по требованию задачи число, также находится вычитанием из суммы n известного теперь слагаемого (m−k): n−(m−k). Итак, C>D на n−(m−k). Из полученного выражения путем тождественных преобразований можно получить иные варианты решений: (n+k)−m, (k−m)+n и другие. Надо заметить, что в первую очередь путем рассуждений могло быть получено и другое выражение, например, (n+k)−m, а из него, впоследствии, выведены другие способы решения, а также и то, что ответ мог быть найден с помощью составления и решения разных вариантов уравнений.

Ø Решите рассмотренную выше задачу алгебраическим методом, составив и решив возможные уравнения. Выделите из найденных решений те, которые не могут быть получены младшими школьниками. Объясните, почему.

Последнее описание процесса решения задачи является примером мышления в понятиях (дискурсивного мышдения). Подобные рассуждения свидетельствуют об умении решающего не прибегать к каким-либо образам, а, опираясь на необходимый комплекс понятий и основываясь на знании их свойств, строить дедуктивные умозаключения, которые ведут к ответу на вопрос задачи. Предпочтение логического метода при выборе пути решения задачи указывает на тот уровень развития словесно-логического мышления, при котором этот вид мышления превалирует над наглядно-образным мышлением.

Ø Выполните задания под номерами 2.4.4.-2.4.6.