Нахождение производных разрывных функций.

Пример 1: Найти производную функции

.

График функции рис.8. Разрыв имеет место при x=1. Величина разрыва y(1+0)-y(1-0) =1-2-1= -2, где

y(1+0) – это предельное значение y при приближении x к 1 справа (со стороны x>1), y(1 - 0) – то же слева. Отсюда получаем, что

(13)

Такая запись лучше утверждения, что везде, кроме точки x=1, где функция терпит разрыв и не имеет производной. В записи (13) в одной строчке содержится и факт разрыва (раз вошла δ), и место его (x=1), и величина (коэффициент (- 2) при δ).

Пример 2:

.

.

Разрыв в точке x=1. Величина разрыва: y(1+0)-y(1 - 0)=2. Теперь мы можем точку х=1 присоединить к левой области и тогда написать

.

Либо другой вариант – можно присоединить х=1 к правой области и тогда с равным правом запишем

.

Можно написать также

,

где

Пример 3:

Рассмотрим модель прохождения тока вдоль цепи, представленную в работе М.Н. Дубайловой «Применение рядов Фурье при решении задач Электродинамики» [7].

Найдем производную данной функции, представленной графиком зависимости силы тока от времени:

По графику видно, что сила тока в точках α/(2ω), 2π-α/(2ω), 2π+α/(2ω), 4π-α/(2ω),… мгновенно падает от А до 0 или от 0 до –А, то есть ток мгновенно становится равным 0, и вновь появляется с отрицательным значением. Исчезновение тока в цепи означает, что цепь разрывается, поэтому в реальном процессе снова появится через какое-то время ток самопроизвольно не может. Такая модель прохождения тока вдоль цепи является противоречивой.

В действительности сила тока меняется не мгновенно, а в течение короткого конечного промежутка времени. Реальный процесс можно изобразить следующим графиком (рис.10).

В физике используется упрощенная модель, график которой представлен на рис.9, так как работа силы тока в коротком конечном промежутке времени Δt равна нулю (A= =A₁+A₂=A₁+(-A₁)=0, геометрически числа A₁ и A₂ выражают площади заштрихованных фигур, см. рис.10).

В математике рис.9 не является графиком функции (одному значению t соответствует бесконечное множество значений I). Поэтому математика рассматривает упрощенную модель, абстрагированную от реального процесса, разрывая функцию, график этой модели представлен на рис.11.

Найдем производную данной функции.

Для этого функцию зададим следующим образом:

.

Разрывы имеют место при .

Величины разрывов равны –A, -A, A, A соответственно. Отсюда получаем, что

.
Заключение

В выпускной квалификационной работе поставленные цели достигнуты, то есть были достаточно подробно рассмотрены математический и физический подходы к определению функции Дирака, причем физический подход к определению осуществлен через решение физических задач об импульсе и плотности материальной точки. Применение функции Дирака для нахождения производных разрывных функций было проиллюстрировано с помощью математических и физических примеров, выявлена целесообразность применения дельта-функции для нахождения производных разрывных функций. Теоретический материал подтверждается решением различных примеров.

Таким образом, функция Дирака – одно из наиболее необходимых и широко применяемых понятий, как в физике, так и в математическом анализе.