Геометрическое определение

Рассмотрим прямые {y=0, z=1} и {y=0, Z=0} в R³ и выберем по m точек на каждой из этих линий с абсциссами – натуральными числами от 1 до m.

Определение косы как набора кусочно-гладких путей удобно для определения умножения в группе кос.

Две косы В₀ и В₁ называются равными, если они изотопны, т.е. если существует непрерывное семейство кос В_t, {t ∈ [0,1]}, начинающиеся с косы В₀ и заканчивающееся косой В₁.

Множество всех кос из m нитей имеет структуру группы.

Произведение АВ двух кос А и В является приставление косы В снизу косе А и изменение масштаба вдоль координаты z так, чтобы концы кос совпадали с фиксированными наборами точек.

Единичным элементом группы кос является коса, которая представлена вертикальными линиями, параллельными друг другу.

Крашеные косы – это косы, каждая нить которых соединяют точки с одинаковыми абсциссами.

Топологическое определение

Пусть Х топологическое пространство.

Неупорядоченным m-конфигурационным пространством для Х называется пространство всех подмножеств из m попарно различных точек пространства Х.

Обозначается: В(Х,m).

Упорядоченное m-конфигурационное пространство состоит из всех упорядоченных наборов m различных точек.

Обозначается:F(X,m).

Пусть Х=R С¹.

Группа кос из m нитей есть группа, изоморфная фундаментальной группе π₁(В(Х,m)).

Группа π₁(F(Х,m)) называется группой крашеных кос из m нитей.

Алгебраическое определение.

Группа кос из m нитей есть группа, заданная (m-1) образующими

σ₁ ,…, σ_m-1 и соотношениями:

σ_i σ_j= σ_j σ_i при │i-j│≥ 2(дальняя коммутативность)

σ_i σ_i+1σ_i = σ_i+1σ_i σ_i+1 при 1 ≤ i ≤ m−2

Образующие группы кос

Как и перестановки, косы из фиксированного числа нитей, рассматриваемые с точностью до изотопии, обладают естественной структурой группы.

У нас есть две косы A и B каждая из n нитей. Определим произведение кос AB как косу, получаемую сжиманием кос A и B по вертикали и расположением косы A над косой B (рис.17)

Рис.17

Очевидно, что определенное таким образом умножение кос ассоциативно.

Косы образуют 3 группу:

1)умножение;

2)единичная коса;

3)взятие обратного.

При умножении кос перемножаются соответствующие им перестановки. В качестве единичной косы можно взять косу, состоящую из вертикальных параллельных нитей (рис. 18)

Рис.18

В качестве косы, обратной заданной, можно рассмотреть зеркальное отражение относительно горизонтальной прямой. (рис.19)

Другими словами, произведение косы A и ее зеркального отражения A′ изотопно единичной косе.

Это зеркальное отражение обращает перестановку, соответствующую косе, т.е. взятию обратной для некоторой косы соответствует взятие обратной для ее перестановки. Обе операции (умножение и взятие обратного) инвариантны относительно изотопии, т.е. если коса A₁ изотопна косе A₂, а коса B₁ - косе B₂, то произведение кос A₁·B₁ изотопно произведению кос A₂·B₂, а обратная коса A₁^-1 - обратной косе A₂^-1.

Для каждого натурального числа n мы построили группу кос из n нитей, которую мы обозначим через Br(n). В этой группе изотопные косы считаются одинаковыми.

Опишем теперь некоторый набор образующих группы кос. Как и в случае с перестановками, где в качестве образующих можно взять транспозиции соседних элементов, в качестве образующих группы кос можно взять такие косы, которые переставляют два соседних элемента j, j + 1, где j - натуральное число от 1 до n − 1. При этом в отличие от группы перестановок нити можно переставить двумя разными способами, т.е. выбирая, какая нить идет ближе, а какая - дальше. На рис. 19а эта перестановка обозначается через σ_i. На рис. 19б, никакого специального обозначения вводить не надо, так как эта коса является обратной к косе σ_i, и ее следует обозначать через σ_i^-1.

Рис.19