Теорема Артина.
Как можно изменять запись кос по образующим, не меняя изотопического класса косы?
Во-первых, если есть два перекрестка, находящихся далеко друг от друга по горизонтали и близко по вертикали (т.е. нет ни одного перекрестка, находящегося выше одного из них, но ниже другого), то их можно поменять местами по вертикали (рис. 24).
Рис.24
При таком преобразовании изотопический тип косы не изменится, однако изменится ее запись по образующим: порядок образующих σi, σj, соответствующих этим двум перекресткам, изменится на порядок σj, σi.
Числа i, j должны быть достаточно далеки друг от друга: модуль их разности должен быть не меньше двух.
σi σj= σj σi при │i-j│≥ 2 (1)
Это соотношение в группе кос называется дальней коммутативностью.
Есть и другие соотношения в группе кос. Представим себе, что на некоторой косе рядом находятся три точки попарных пересечений трех различных нитей косы, при этом одна нить косы проходит выше (или ниже) двух других. Тогда эту нить можно «протянуть» над (под) двумя остальными. (рис. 25)
Рис.25
Полученная таким образом коса будет изотопна изначальной, хотя запись косы по образующим изменится.
В этом случае это изменение будет записываться в виде соотношения
σi σi+1σi = σi+1σi σi+1 при 1 ≤ i ≤ n−2. (2)
Такое движение в теории узлов называется третьим движением Рейдемейстера.
При изотопии может произойти следующее. Пусть две нити косы находятся на близком расстоянии друг к другу и не пересекаются. Тогда одну из этих нитей можно «наложить» на другую, т.е. провести сверху от другой. (рис. 26)
Рис.26
После этого к диаграмме косы добавятся два перекрестка, но коса останется изотопной самой себе. Получившееся соотношение записывается в виде
σi σi-1 = σi-1 σi = e, (3), где e обозначает тривиальную косу. Это соотношение выполняется в любой группе, так что его не нужно включать в список соотношений, определяющих группу кос.
Движение (3) в теории узлов также имеет свое название. Оно называется вторым движением Рейдемейстера.
Рис.27 также описывает второе движение Рейдемейстера - его противонаправленную версию. Эта версия в теории кос не встречается, так как ветви косы все направлены «в одну сторону».
Рис.27
Теорема Артина
Две косы А и В, заданные своими записями по образующим, являются изотопными тогда и только тогда, когда коса А переводится в косу В посредством последовательного применения преобразований кос (1), (2), (3).
Представление Бурау
Наиболее естественным путем для поиска представлений группы кос является следующий. Можно попытаться представить косы из n нитей матрицами размера n × n.
Можно связать с элементом σi блочно-диагональную матрицу с блоком 2×2, расположенным в двух строках (i,i+1) и двух столбцах (i,i+1), и остальными блоками размера (1×1), равными 1 и расположенными на главной диагонали.
Для такой матрицы должны выполняться некоторые соотношения коммутирования между образами σi, σj, где |i − j| ≥ 2.
Если взять матрицы, соответствующие σi с одинаковыми (2×2)-блоками но на разных местах, то останется только проверить соотношения
σ1 σ2 σ1 = σ2 σ1 σ2 для матриц размера 3×3.
Если матрицу размера 2×2, соответствующую образующей σ, обозначить через A, то соотношение для матриц 3 × 3 будет выглядеть для блочно-диагональных матриц:
Получается представление, в котором блок матриц размера 2×2 выглядит так:
Это представление называется представлением Бурау группы кос.
Точность этого представления была открытым вопросом на протяжении долгого времени.
Джоан Бирман впервые доказала точность этого представления для группы кос из трех нитей.
В 1991 году Муди построил первый пример нетривиального элемента из ядра представления Бурау (группы кос с большим, чем три, количеством нитей).
К настоящему времени проблема точности представления Бурау решена положительно для n ≤ 3 и отрицательно для n ≥ 5 (Бигелоу). Случай n = 4 до сих пор открыт.
Заключение
Исходя из проведенных исследований, можно сделать вывод, что теория узлов и кос еще со времен древности продолжает сохранять свою актуальность практического использования по сей день. В повседневной жизни узлы и косы обладают важной технологической ролью и активно используются в мореходстве, строительстве, альпинизме и т.д. Применение данной теории многогранно, т.к. свой интерес найдут в ней и математики, и физики, и химики, и биологи.
В ходе моего исследования были достигнуты следующие цели:
1. изучена теория кос, история возникновения и развития;
2. изучена теория узлов, история возникновения и развития;
3. изучена теорема Артина и представление Бурау.
Главные проблемы по-прежнему открыты: узлы продолжают ускользать от попыток их ясно классифицировать, и по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко вычислимой полной системой инвариантов.