Точки минимума и максимума функции




КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Выполнил:

студент 4 курса очной формы обучения

Суровцев Дмитрий Андреевич

 

Руководитель:

дфмн, проф. Хэкало С.П..

 

Итоговая оценка - ______________

Подпись______________________

 

 

Коломна – 2019 г.

Оглавление

1. Введение……………………………………………………………………..3.

2. Рассмотрение теорем существования из учебника курса алгебры за 10-11 класс, автораШ.А. Алимова………………………………………………..4.

2.1. Определение предела функции……………………………………….4.

2.2. Теорема Лагранжа……………………………………………………..4.

2.3.Точки минимума и максимума функции………………………………5.

2.4. Теорема Ферма………………………………………………………….5.

3. Рассмотрение теорем существования из учебника курса алгебры за 10-11 класс, автораН.А. Колмогорова……………………………………………6.

3.1. Определение предела функции………………………………………..6.

3.2. Теорема Лагранжа………………………………………………………7.

3.3.Точки минимума и максимума функции………………………………8.

3.4. Теорема Ферма………………………………………………………….9.

4. Пример теоремы существования из учебника по геометрии 10-11 класса Л.С.Атанасяна………………………………………………………………11.

5. Заключение…………………………………………………………………12.

6. Литература…………………………………………………………………..13.

 

 

Введение

Если посмотреть вокруг, то роль математики в жизни человека становится очевидной. Помимо природы, телефоны, компьютеры и прочая электронная техника сопровождают нас каждый день, а их создание было бы невозможно без использования законов и расчетов этой величайшей науки.

В данной работе будет довольно-таки часто встречаться такое понятие как «функция». Этот термин впервые появился в 1692 году у Г.Лейбница, в некотором более узком смысле. В смысле, близком к современному, этот термин употребил в письме к Лейбницу в 1698 году швейцарский ученый И.Бернулли.

С научной точки зрения, функция (отображение, оператор, преобразование) - в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие единственный элемент из другого множества.

В формировании современного понимания функциональной зависимости приняли участие многие крупные математики, такие как: Ролль, Ферма, Лагранж, Вейерштрасс.

В своей курсовой работе я буду рассматривать и анализировать различные теоремы существования из двух учебников школьного курса математики за 10-11 класс.

 

 

Рассмотрениетеорем существования из учебника курса алгебры за 10-11 класс, автораШ.А. Алимова

Примеры:

Определение предела функции

Начну, пожалуй, с определения предела. Число A называется пределом функции f(x) в точке и обозначается , если для любого числа >0 существует такое число >0, что для всех, x удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство < .

Поясним что определение предела функции. Число A является пределом функции f(x) в точках , если значения f(x) при x, достаточно близких к , становятся как угодно близкими к числу A, т.е. значения |f(x)-A| становятся как угодно малыми.

Теорема Лагранжа

При доказательстве теорем о достаточных условиях возрастания или убывания функции используется теорема, которую называют теоремой Лагранжа.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что . (1)

Доказательство формулы (1) проводится в курсе высшей математике. В школе поясняют лишь геометрический смысл этой формулы.

Проведем через точки графика функции прямую l и назовем эту прямую секущей. Угловой коэффициент секущей равен

Запишем формулу (1) в виде

Согласно формуле (2) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке C с абсциссой c равен угловому коэффициенту секущей l, т.е. на интервале (a;b) найдется такая точка c, что в точке графика с абсциссой c касательная к графику функции y=f(x) параллельна секущей.

Точки минимума и максимума функции

Точка называется точкой максимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f().

Например, точка =0 является точкой максимума функции f(x)=1- , так как f(0)=1 и при всех значениях верно неравенство f(x)<1 (рис. 124).

 

Точка называется точкой минимума функции f(x), если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство f(x)>f(.

Например, точка =2 является точкой минимума функции f(x)= , так как f(2)=3 и f(x)>3 при всех значениях x 2 (рис. 125).

Точки минимума и точки максимума называются точками экстремума функции.

Теорема Ферма

Теорема. Если -точка экстремума дифференцируемой функции f(x), то существующая производная f’()=0.

Это утверждение называют теоремой Ферма. Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: касательная к графику функции y=f(x) в точке ()), где -точка экстремума функции y=f(x), параллельна оси абсцисс, и поэтому ее угловой коэффициент f’() равен нулю (рис. 126).

 

Например, функция (рис. 124) имеет в точке максимум, ее производная f’(x)=-2x, f’(0)=0. Функция f(x)= имеет минимум в точке (рис. 125), f’(x)=2(x-2), f’(2)=0.

Отметим, что если f’()=0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что обязательно точка экстремума функции f(x)

Например, если f(x)= , то f’(0)=0. Однако точка x=0 не является точкой экстремума, так как функция возрастает на всей числовой оси (рис. 127). Итак, точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать только среди корней уравнения f’(0)=0, но не всегда корень этого уравнения является точкой экстремума. Точки, в которых производная функции равна нулю, называется стационарными.

Заметим, что функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например, x=0- точка минимума функции f(x)=|x|, аf’(0) не существует. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или недифференцируема, называют критическими точками этой функции.

Таким образом, для того, чтобы точка была точкой экстремума функции f(x), необходимо, чтобы эта точка была критической точкой данной функции.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-11-10 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: