Чтобы избежать численного интегрирования при определении элементов матрицы 
(8.1.16), упростим вычисление обобщенных скалярных произведений
| (8.2.1) |
Ниже показано, что указанные скалярные произведения могут быть выражены через реакции связей нормированных форм колебаний 
. Если освободить конструкцию от интерфейсных связей и заменить их действие реакциями, то уравнения для статических решений 
и форм колебаний записываются в виде (8.1.5).
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения статического деформирования (L - статический оператор) одной и той же системы при различных внешних силах 
и 
.
| (8.2.2) |
Применяя теорему о взаимности работ Бетти [18 ] к двум системам сил (8.2.2), будем иметь
| (8.2.3) |
Учитывая правила интегрирования дельта-функций и их производных из (8.2.3) получим
| (8.2.4) |
Принимая во внимание граничные условия для кинематических параметров 
, 
, соотношение (8.2.4) преобразуется к виду (
– символ Кронекера)
 .
| (8.2.5) |
Отсюда получаем соотношения между коэффициентами Фурье разложения квазистатических решений и реакциями в связях, соответствующими нормированным собственным тонам колебаний закрепленных подсистем
| (8.2.6) |
Отметим, что соотношение (8.2.6) имеет важное самостоятельное значение, так как оно дает возможность существенно сократить объем вычислений за счет замены интегралов или матричных операций на отношение вычисляемых в процессе решения задачи скалярных величин.
Вариант динамической редукции подсистем, используемый в зарубежных программных комплексах (метод Крейга-Бемптона)
Следует отметить, что и в методе динамической редукции с использованием квазистатики кинематического типа, и в методе Крейга-Бэмптона, и в методе построения механических аналогов лежит один и тот же физический принцип, а именно представление решения конденсируемой подсистемы в виде суммы единичных квазистатических решений и разложения по тонам колебаний закрепленной в интерфейсных точках подсистемы.
|
|
При использовании конечно-элементной постановки задачи уравнение свободной подсистемы в физических степенях свободы запишем в виде
 .
| (8.3.1) |
Здесь M и 
– матрицы масс и жесткостей свободной подсистемы, 
‑ вектор внешних сил.
Пусть число физических степеней свободы будет N
 .
| (8.3.2) |
Будем считать последние m обобщенных координат вектора 
обобщенными координатами интерфейса 
через которые будет осуществляться стыковка данной подконструкции с основной конструкцией. Обозначим остальные 
обобщенные координаты вектора через 
.
Тогда вектор (8.3.2) можно представить в блочном виде
| (8.3.3) |
В предположении, что подсистема кинематически возбуждается в узлах интерфейса по законам 
, вектор внешних сил, входящий в уравнение (8.3.1), представим в виде активных внешних сил, соответствующих подвекторам 
и 
, и сил реакции 
в узлах интерфейса
| (8.3.4) |
Решение для внеинтерфейсных обобщенных координат 
ищется, как уже упоминалось, в виде комбинации m единичных квазистатических решений 
и разложения по n тонам колебаний 
закрепленной в интерфейсных координатах подсистемы 
.
| (8.3.5) |
Здесь 
– обобщенные координаты интерфейса, 
– обобщенные координаты, соответствующие тонам колебаний закрепленной в интерфейсе подсистемы.
|
|
Равенства (8.2.5) для являются конечноэлементными аналогами представления (8.1.2)
Тогда связь между обобщенными координатами исходной конечно-элементной модели (8.3.2) и вновь введенными обобщенными координатами 
и с учетом (8.3.5) запишется так
 , где  ,
| (8.3.6) |
|
Матрицы форм колебаний 
и статических решений 
построим, исходя из конечно-элементной формулировки задачи (8.3.1), записанной в блочном виде с учетом представления вектора обобщенных координат в виде (8.3.3)
| (8.3.7) |
Отметим, что в силу симметрии матриц М и 
, входящих в (8.3.1), для блочных матриц, входящих в (8.3.7), справедливы равенства
 .
|
Для получения матрицы j необходимо в уравнении вектор q и, соответственно, 
приравнять нулю 
(то есть закрепить координаты интерфейса), положить нулю 
и 
, а вектор задать в виде 
t.
Тогда на основе векторного равенства для первой блочной компоненты (8.3.7) задача о собственных колебаниях, формирующих матрицу , примет вид
 .
| (8.3.8) |
После вычисления n нижних собственных тонов колебаний задачи (8.3.8) строим матрицу , столбцами которой являются собственные вектора 
размерности .
 .
| (8.3.9) |
В итоге матрица имеет размерность 
.
Для получения матрицы единичных статических решений необходимо в (8.3.7) обнулить инерционные члены 
и внешние силы 
.
Единичные статические функции 
определяются из решения следующих задач
| (8.3.10) |
Здесь 
– 
-ый столбец единичной матрицы E размерности 
.
– вектор статических реакций размерности 
в интерфейсных точках, соответствующих j -ой статической функции .
Задача (8.3.10) является конечноэлементным аналогом континуальной задачи (8.1.3).
|
|
Очевидно, что сложив векторных равенств (8.3.10) придем к матричному уравнению относительно матрицы, столбцами которой являются вектора из (8.3.10).
 .
| (8.3.11) |
Здесь Е – единичная матрица m -го порядка (порядок единичной матрицы совпадает с порядком вектора обобщенных координат интерфейса q), 
‑ матрица статических реакций в интерфейсе, соответствующая матрице единичных статических решений .
Равенство (8.3.10) эквивалентно следующим двум равенствам
 .
| (8.3.12) |
Из первого равенства (8.3.12) определяем матрицу единичных статических решений
| (8.3.13) |
Второе равенство (8.3.12) дает возможность определить матрицу статических реакций 
от единичных статических решений . После определения матриц 
и представление для из (8.3.6) подставляем в уравнение (8.3.1) и умножаем все члены уравнения слева на 
из (8.3.6)
 ,
здесь  .
| (8.3.14) |
После перемножения матриц в уравнении (8.3.14) с учетом блочной структуры матриц 
и 
(8.3.7) будем иметь
 ,
| (8.3.15) |
| (8.3.16) |
Проанализируем блочные элементы матрицы 
(8.3.15). Очевидно, что при единичной нормировке форм колебаний по массе
 где  – единичная матрица n- го порядка,
| (8.3.17) |
 ,
| |
 .
|
Проанализируем блочные элементы матрицы 
(8.3.16). Из соотношения (8.3.8) следует матричное равенство
 здесь  .
| (8.3.18) |
Умножая равенство (8.3.18) слева на 
, получим
| (8.3.19) |
Очевидно, что матрица симметрична и кроме того с учетом первого равенства (8.3.12) внедиагональные элементы матрицы равны нулю
 .
| (8.3.20) |
Отметим также, что в силу равенств (8.3.12) блочный элемент матрицы (8.3.16) 
равен матрице статических реакций в интерфейсе .
Действительно,
 .
|
В итоге уравнение (8.3.7) приобретает следующий вид
| (8.3.21) |
Здесь 
- единичная матрица, n -го порядка
| (8.3.22) |
 .
|
Следует иметь в виду, что в случае интерфейса представляющего собой узел с шестью степенями свободы (например, плоское поперечное сечение балки) матрица 
равна нулю, так как в этом случае матрица будет характеризовать перемещения подконструкции как жесткого целого, а реакции при статическом перемещении тела в пространстве равны нулю 
.
Необходимо отметить, что при детализированном разбиении подконструкции на мелкие конечные элементы и при отсутствии ассоциированных с интерфейсными обобщенными координатами значительных массово-инерционных параметров определяющую роль в матрицах 
и 
будет играть подматрица 
из (8.3.7) матрицы . При этом для формул (8.3.22) будут справедливы приближенные соотношения, совпадающие с (8.1.16), (8.1.17)
 .
| (8.3.23) |
Cконденсированное уравнение (8.3.21) в дальнейшем обычно используется для синтезирования подсистем.