Первообразная и интеграл.




Повторение. Тема «Первообразная. Интегралы».

Первообразная

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция есть первообразная функции на интервале , поскольку для всех имеет место равенство .

1. Найти первообразную функции . Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале первообразной является . Действительно, для всех . 2. Найти первообразную функции на множестве R. Решение: Степень получается при дифференцировании . Так как , то, чтобы при дифференцировании получить перед коэффициент 1, нужно взять с коэффициентом 1/7. Следовательно, .

Неопределенный интеграл

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

 

1.Найти неопределенный интеграл .

 

Решение:

2. Найти интеграл .

Решение:

 

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

 

Свойства определенного интеграла.

  1. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
  3. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
  4. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
  5. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

Задание на дом. Домашняя работа.

1).Вычислите интегралы:

1. 2. 3. 4. 5.

 

2). Выполните тест:

Тест

Первообразная и интеграл.

А1. Выберите первообразную для функции .

1) 2) 3) 4)

 

А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?

1) 2) 3) 4)

А3. Найдите общий вид первообразных для функции .

1) 2) 3) 4)

А4. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

А5. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-07-12 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: