Первообразная и интеграл.

Повторение. Тема «Первообразная. Интегралы».

Первообразная

Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Так, функция есть первообразная функции на интервале , поскольку для всех имеет место равенство .

1. Найти первообразную функции

. Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале

первообразной является

. Действительно,

для всех

. 2. Найти первообразную функции

на множестве R. Решение: Степень

получается при дифференцировании

. Так как

, то, чтобы при дифференцировании

получить перед

коэффициент 1, нужно

взять с коэффициентом 1/7. Следовательно,

Неопределенный интеграл

Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.

Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Таким образом, если - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.

Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».

Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.

1.Найти неопределенный интеграл .

Решение:

2. Найти интеграл .

Решение:

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

Свойства определенного интеграла.

Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
Отрезок интегрирования можно разбивать на части: