Повторение. Тема «Первообразная. Интегралы».
Первообразная
Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.
Дифференцируемая функция называется первообразной для функции на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство .
Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.
Так, функция есть первообразная функции на интервале , поскольку для всех имеет место равенство .
1. Найти первообразную функции . Решение: Используя правило дифференцирования, можно догадаться, что на интервале первообразной является . Действительно, для всех . 2. Найти первообразную функции на множестве R. Решение: Степень получается при дифференцировании . Так как , то, чтобы при дифференцировании получить перед коэффициент 1, нужно взять с коэффициентом 1/7. Следовательно, . |
Неопределенный интеграл
Как уже было отмечено, первообразную можно находить не только по данной ее производной, но и по ее дифференциалу. В дальнейшее мы будем этим пользоваться.
Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается символом , где - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
Таким образом, если - какая-нибудь первообразная функции на некотором промежутке, то , где С – любое действительное число.
Замечание. Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по ее производной не вполне определенной; отсюда происходит название «Неопределенный интеграл».
Так, пользуясь определением неопределенного интеграла, можно записать: .
Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну из ее первообразных и прибавить к ней произвольную постоянную С.
1.Найти неопределенный интеграл .
Решение:
2. Найти интеграл .
Решение:
Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:
Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.
Свойства определенного интеграла.
- Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:
- Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
- При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:
- Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
- Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
ПРИМЕРЫ: Вычислить интеграл:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
Задание на дом. Домашняя работа.
1).Вычислите интегралы:
1. 2. 3. 4. 5.
2). Выполните тест:
Тест
Первообразная и интеграл.
А1. Выберите первообразную для функции .
1) 2) 3) 4)
А2. Какая из данных функций не является первообразной для функции ?
1) 2) 3) 4)
А3. Найдите общий вид первообразных для функции .
1) 2) 3) 4)
А4. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)
А5. Вычислите интеграл . 1) 2) 3) 4)