.
Мгновенная угловая скорость равна
Если 
, то вращение равномерное, его характеризуют периодом вращения Т (время, за которое точка совершает один полный оборот).
.
5. Аналогично можно ввести понятие углового ускорения, если тело вращается равноускоренно, то
При повороте радиуса, проведенного в точку М (см. рис. 2), на угол φ точка пройдет по дуге окружности путь
s=rφ. (1)
За малое время Δt точка проходит расстояние Δs=rφ2−rφ1, где φ2 и φ1 — углы поворота в конце и в начале интервала Δt. Разделив последнее равенство на Δt и учитывая, что ΔsΔt=υ и φ2−φ1Δt=ΔφΔt=ω, получим
υ=rω. (2)
Заметим, что соотношение (2) связывает между собой линейную и угловую скорости не только при равномерном движении точки по окружности, но- и при неравномерном движении тоже. Изменение модуля скорости точки за время Δt есть Δυ=rω2−rω1, где ω2 и ω1 — угловые скорости в конце и в начале промежутка Δt. Разделим последнее равенство на Δt и учтем, что ΔυΔt=ak и ω2−ω1Δt=ΔωΔt=ε, тогда касательное ускорение
ak=rε. (3)
Соотношения (1), (2) и (3) дают для движущейся по окружности точки простую связь между линейными и угловыми величинами: линейная величина равна произведению радиуса окружности на соответствующую угловую величину.
Момент силы — векторнаяфизическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. [M] = Ньютон · метр или в виде векторного произведения М=F*r
Mz=Iz×ε- уравнение динамики вращательного движения
Моментом инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело
Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:  где r - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A, p=mv - импульс материальной точки (рис. 1); L - псевдовектор, направление которого совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к р 
закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Кинетическая энергия вращательного движения
При вращательном движении работа определяется проекцией момента сил на направление угловой скорости:
 ,
если Мw = const, то А = Мw×j.
Элементы специальной теории относительности
Эти постулаты надежно подтверждены экспериментально.
1. Принцип относительности. Все инерциальные системы отсчета равноправны, во всех инерциальных системах не только механические, но и все другие явления природы протекают одинаково.
2. Принцип постоянства скорости света. Во всех инерциальных системах скорость света в вакууме одинакова и равна с.
Относительность одновременности
Если два разнесённых в пространстве события (например, вспышки света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта, то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы. При Δt′=0 из преобразований Лоренца следует:
Если Δx=x2−x1>0, то и Δt=t2−t1>0. Это означает, что, с точки зрения неподвижного наблюдателя, левое событие происходит раньше правого (t2>t1). Относительность одновременности приводит к невозможности синхронизации часов в различных инерциальных системах отсчёта во всём пространстве.
 Относительность промежутков времени (замедление времени)
 . Эту формулу легко получить из преобразований Лоренца, учитывая, что Δt=t2-t1, а Δt0=t'2-t'1 Из этойформулы следует, что длительность одного и того же процесса различна в системах K и K1. В системе K1 длительность процесса больше. Следовательно, он протекает медленнее, чем в системе К. Время, отсчитываемое по часам, которые движутся вместе с телом, называют собственным временем. Оно самое короткое; наблюдается релятивистский эффект замедления времени (Δ t > Δ to).
Релятивистское замедление времени экспериментально подтверждено в опытах с распадом некоторых элементарных частиц (мюонов).
Согласно же теории относительности длина тела не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно ИСО и определяется по формуле ,
где ℓ о—собственная длина стержня; ℓ—длина этого стержня в системе отсчета K1 относительно которой стержень движется со скоростью v. Эту формулу, как и в предыдущем случае, легко получить из преобразований Лоренца, учитывая, что длина любого отрезка - это разность координат его начала и конца.
Классический закон сложения скоростей  не может быть справедлив, так как он противоречит утверждению о том, что c=const. закон сложения скоростей 
Релятивистский импульс
В теории относительности импульс определяется по формуле
Следовательно, .
При υ=c получим, что со скоростью, равной скорости света может двигаться только тело, имеющее массу, равную нулю. Это говорит о предельном характере скорости света для материальных тел.
Релятивистская динамика.
Динамика, основанная на принципах СТО, инвариантная относительно преобразований Лоренца, называется релятивистской динамикой.
Основной закон динамики (второй закон Ньютона) для материальной точки имеет вид: 
Пусть тело (частица) ускоряется при прямолинейном движении вдоль  постоянной силой F, работа которой будет трансформироваться в прирост кинетической энергии
 ,
Закон взаимосвязи массы и энергии
Полную энергию свободного тела можно определить как произведение его релятивистской массы на квадрат скорости света в вакууме:
E=mc2
Если изменяется энергия системы, то изменяется и ее масса:  . Всякое изменение любой энергии (тела, частицы, системы тел) на  сопровождается пропорциональным изменением массы на Δm.
Первое несоответствие в классической механике было выявлено, тогда когда был открыт микромир. В классической механике перемещения в пространстве и определение скорости изучались вне зависимости от того, каким образом эти перемещения реализовывались. Невозможно точно измерить в одно и то же время две взаимно сопряженные величины. Другое открытие пошатнувшее устои классической механики, было создания теории поля.
1. Колебания и волны
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной повторяемостью во времени.
Периодическим колебанием называется процесс, при котором система (например, механическая) возвращается в одно и то же состояние через определенный промежуток времени. Этот промежуток времени называется периодом колебаний.
Гармонические колебания — это такие колебания, при которых колеблющаяся величина x изменяется со временем по закону синуса, либо косинуса:
,
или
гдеA - амплитуда; ω - круговая частота; α - начальная фаза; (ωt + α) - фаза
Механическими колебаниями называются движения тел, точно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x=f(t).
2. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника массой m, который совершает малые колебания под действием упругой силы F= -kx, сила трения прямо пропорциональна скорости, т. е.  где r — коэффициент сопротивления; знак минус говорит о том, что сила трения и скорость противоположно направлены. При этих условиях закон движения маятника  Используя формулу  и считая, что коэффициент затухания равен  получим полностью идентичное уравнению дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника: колебания маятника удовлетворяют уравнению  где частота  Добротность пружинного маятника, используя  .
Пусть колебание происходит по закону синуса  , тогда скорость меняется по закону косинуса . Запишем выражение для кинетической энергии:  .
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия будет равна максимальной кинетической, т. к. в положении равновесия потенциальная равна нулю. Тогда:  . Для потенциальной энергии получим:
Т. о. мы видим, что колебания кинетической и полной энергий происходят в противофазе.
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания, происходящие под действием внешней переменной силы (вынуждающей силы)
Для нахождения уравнения установившихся колебаний необходимо найти решение дифференциального уравнения:
 при  .
Частота  называется резонансной частотой, а достижение максимума амплитуды колебаний при изменении частоты называется явлением резонанса.
Векторная диаграмма — графическое изображение меняющихся по закону синуса (косинуса) величин и соотношений между ними при помощи направленных отрезков — векторов.
будем складывать гармонические колебания одного направления и одинаковой частоты значит, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает при этом также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания. Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз (φ2 - φ1) складываемых колебаний.
Периодические изменения амплитуды колебания, которые возникают при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами, называются биениями.
сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами  , что соответствует условию  (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами.
Складываются взаимно перпендикулярные колебания, частоты которых не равны  , но  ,  , где a и b – целые числа.
Волны
| ||
Колебания, распространяющиеся в упругой среде с конечной скоростью, называются волнами.
Продольные волны – когда частицы среды колеблются в направлении распространения волны. В данном случае создаются чередующие сгущения и разряжение среды. Продольные волны возникают за счет деформации смещения в твердых телах, жидкостях и газах. Поперечные волны – когда частицы колеблются в плоскости перпендикулярной распространению волны. Поперечные волны возникают за счет деформации сдвига в твердых телах.
Геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью.
В случае одномерной синусоидальной волны уравнение волновой поверхности имеет следующий вид:
Этому условию в каждый момент времени удовлетворяет только одна точка оси ОХ, координата х которой равна:
Длиной волны  – называют расстояние между ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе.
Формулы длины волны легко получить из аналогии по формуле пути:
скорость распространения волны есть скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью и обозначают: :
Т. к , отсюда 
При распространении волн в среде происходит перенос энергии волной. В это время в среде наблюдаются колебания ее частиц, т. е. частицы среды приобретают  (за счет движения) и  (за счет деформации) энергии.
Объемная плотность полной энергии волн равна: 
Принцип суперпозиции (наложения) волн заключается в следующем: в линейных средах волны распространяются независимо друг от друга, то есть волна не изменяет свойства среды, и другая волна распространяется так, будто первой волны нет. Это позволяет вычислять итоговую волну как сумму всех волн, распространяющихся в данной среде. 
| ||