Статистическое усреднение

Зная функцию распределения f(x), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. Из N измерений в случаях (из **):

Получается результат, равный х. Сумма таких результатов . Сумма всех возможных результатов:

(в левой части фактически стоит сумма х ). Разделив обе части на N, получим среднее значение величины х:

Формула статистического усреднения

Т.е. для определения среднего х необходимо знать функцию распределения f(x). Интегрирование проводится по интересующему нас интервалу значений х.

2. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая ячейка

Введём воображаемое шестимерное пространство, каждая точка которого характеризуется шестью координатами x, y, z, , , , где x, y, z – координаты, , , – соответствующие им проекции импульсов каждой молекулы. Такое пространство называется фазовым пространством молекул, а его точки – фазовыми точками.

Таким образом, мгновенное состояние отдельной молекулы полностью характеризуется положением её фазовой точки в фазовом пространстве.

Разобьём теперь всё фазовое пространство молекул на достаточно малые области с одинаковыми фазовыми объёмами. Такие области называются фазовыми ячейками (например, фазовая ячёйка может иметь форму бесконечно малого шестимерного прямоугольного параллелепипеда и иметь объём ).

Примем произвольную точку пространства О за начало координат. Отложим от неё в какой-то момент времени t векторы скоростей всех молекул газа: (рис. 8.3).

	Концы этих векторов называются скоростными точками. Совокупность всех скоростных точек образуют 3-х мерное пространство, называемое пространством скоростей. Пространство скоростей является частным случаем фазового пространства. В пространстве скоростей можно ввести прямоугольные оси, по которым можно откладывать проекции , , вектора на эти оси.
Рис. 8.3

Распределение Максвелла (английский физик 1831-1879).

Скорости каждой молекулы в пространстве скоростей соответствует точка. Распределение этих точек в пространстве характеризует распределение молекул по скоростям. Вследствие равноправности всех

Рис. 8.4

направлений движения, расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. (Рис. 8.4). Плотность точек в пространстве будет зависеть только от модуля скорости . Для скоростей, лежащих в пределах от до +d соответствующий объёмв пространстве (объём сферического слоя). Число точек, находящихся в этом слое (каждая точка соответствует скорости отдельной молекулы) , где плотность точек в пространстве (подобно тому, как из выражения (2) следует ). Смысл далее.

Смысл функции распределения Максвелла. – это число молекул, величина скоростей которых лежит в интервале от до +d .Разделим выражение для на N, тогда получим вероятность того, что скорость молекулы окажется в пределах от до +d .

, где имеет смысл объёмной плотности вероятности распределения скоростных точек в пространстве скоростей.

Обозначим функцию распределения молекул газа по скоростям. Вид функции F( ) был установлен теоретически Максвеллом. Опуская вывод (желающие могут ознакомиться с ним, например в [1]) приведём окончательный результат:

Где m – масса молекулы, k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура газа, – скорость молекулы. F() показывает, какая относительная доля молекул имеет скорость в интервале от до +d (). Функция F() образована произведением функций вида и (Рис. 8.5). Функция F() нормирована на 1.