№1
Консоль длиной l нагружена силой F. Сечение балки прямоугольное с размерами b и h. Модуль упругости материала Е. При увеличении линейных размеров 
в два раза значение максимального прогиба …
| уменьшится в 2 раза | ||
| увеличится в 2 раза | |||
| не изменится | |||
| увеличится в 4 раза |
Решение:
Максимальный прогиб консольной балке 
где 
При увеличении линейных размеров в два раза получим 
Следовательно, максимальный прогиб уменьшится в два раза.
№2
Консоль на половине длины нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности 
Модуль упругости материала балки 
размер 
Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать 
Из условия жесткости диаметр поперечного сечения d равен ____ (см).
|
| 37,1 | ||
| 18,5 | |||
| 42,4 | |||
| 28,4 |
Решение:
Составим расчетную схему
Расположим начало координат в крайнем левом сечении балки и запишем универсальное уравнение упругой линии балки
где 
и 
– прогиб и угол поворота в начале координат;
, 
– значения момента и силы в начале координат.
Из условий равновесия балки определим
Прогиб и угол поворота в начале координат
Подставим полученные значения в уравнение упругой линии
Прогиб свободного конца консоли
Знак «минус» показывает, что прогиб направлен вниз.
Из условия жесткости 
где 
получим 
После вычислений найдем
№4
Длина консоли балки 
Прогиб на свободном конце 
Угол поворота сечения над опорой В равен ______ радиан.
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
На участке ВС изгибающий момент равен нулю. Следовательно, консоль будет поворачиваться вокруг опоры В как абсолютно твердое тело.
Поэтому 
№5
Консольная балка длиной l нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб 
по всей длине постоянна. Прогиб свободного конца балки по абсолютной величине равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Начало координат выберем на левом конце балки. Рассматривая равновесие левой части консоли, составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении с координатой z.
Запишем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
, или 
Проинтегрируем его дважды:
Произвольные постоянные интегрирования найдем из граничных условий (условий закрепления сечений балки). Прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю: 
и 
Откуда 
Окончательно получим
Данное уравнение позволяет определить перемещение в любом сечении балки.
Прогиб свободного конца консоли равен: 
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз и не совпадает с положительным направлением оси w.
№6
Консоль на половине длины нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности Модуль упругости материала балки размер 
Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать 
Из условия жесткости диаметр поперечного сечения d равен ____ (см).
|
| 37,1 | ||
| 18,5 | |||
| 42,4 | |||
| 28,4 |
Решение:
Составим расчетную схему
Расположим начало координат в крайнем левом сечении балки и запишем универсальное уравнение упругой линии балки
где 
и – прогиб и угол поворота в начале координат;
, 
– значения момента и силы в начале координат.
Из условий равновесия балки определим
Прогиб и угол поворота в начале координат
Подставим полученные значения в уравнение упругой линии
Прогиб свободного конца консоли
Знак «минус» показывает, что прогиб направлен вниз.
Из условия жесткости 
где 
получим 
После вычислений найдем
№7
Консольная балка длиной 
нагружена силами F. Модуль упругости материала Е, осевой момент инерции сечения 
заданы. Прогиб концевого сечения примет значение 
, когда значение силы F равно …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Воспользуемся универсальным уравнением упругой линии балки 
где 
и 
– начальные параметры (прогиб и угол поворота в начале координат); 
, 
– значения момента и силы в начале координат.
Составим расчетную схему. Начало координат расположим в крайнем левом сечении балки.
Из условий равновесия балки найдем 
Начало координат совпадает с заделкой. В начале координат прогиб 
и угол поворота =0.
Уравнение упругой линии имеет вид 
Полагая, что 
, определим прогиб свободного конца балки 
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз.
Из условия 
получим 
№8
Консольная балка длиной 
нагружена моментом 
Поперечное сечение балки прямоугольник: 
Модуль упругости материала 
Радиус кривизны балки в сечении I–I равен ___ (м).
|
| 3,6 | ||
| 5,2 | |||
| 4,8 |
Решение:
Балка испытывает чистый изгиб. Значение изгибающего момента в любом сечении 
Следовательно, балка изгибается по окружности. Для определения радиуса кривизны воспользуемся формулой
, откуда 
.
– жесткость поперечного сечения балки на изгиб. Осевой момент инерции сечения 
.
После вычислений найдем 
№9
Однопролетная балка длиной l, высотой h нагружена равномерно распределенной нагрузкой. Радиус кривизны нейтрального слоя балки в середине пролета равен 
. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Максимальное нормальное напряжение в балке равно … (Влияние поперечной силы на изменение кривизны не учитывать).
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
При изгибе балки кривизна нейтрального слоя связана с изгибающим моментом и жесткостью поперечного сечения на изгиб соотношением 
Следовательно, в середине пролета, в котором возникает максимальный изгибающий момент, имеем 
Максимальное нормальное напряжение найдем по формуле 
Учитывая, что 
, получим 
№10
Консольная балка длиной l нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб 
по всей длине постоянна. Прогиб свободного конца балки по абсолютной величине равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
Начало координат выберем на левом конце балки. Рассматривая равновесие левой части консоли, составим выражение для изгибающего момента в произвольном сечении с координатой z.
Запишем дифференциальное уравнение упругой линии балки:
, или 
Проинтегрируем его дважды:
Произвольные постоянные интегрирования найдем из граничных условий (условий закрепления сечений балки). Прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю: 
и 
Откуда 
Окончательно получим
Данное уравнение позволяет определить перемещение в любом сечении балки.
Прогиб свободного конца консоли равен: 
Знак «минус» показывает, что перемещение направлено вниз и не совпадает с положительным направлением оси w.
№11
Прогиб на свободном конце консоли не должен превышать 
от ее длины. Модуль упругости материала 
длина 
Из условия жесткости размер поперечного сечения b равен ___________ см.
|
| |||
Решение:
Прогиб свободного конца консоли 
Составим условие жесткости: 
Учитывая, что 
найдем 
После вычислений размер 
№12
Балка длиной 2l нагружена моментами 
и 
. Жесткость поперечного сечения балки на изгиб 
по длине постоянна. Прогиб свободного конца балки равен нулю, если отношение 
равно …
|
| 
| ||
| |||
| |||
Решение:
Для определения прогиба свободного конца балки используем принцип независимости действия сил и интегралы Мора, которые вычислим способом Верещагина. Нагрузим балку моментом , а затем − и построим эпюры изгибающих моментов.
К сечению, прогиб которого определяем, прикладываем единичную силу и строим эпюру изгибающего момента. Перемножая эпюры М и 
, суммируя результаты и приравнивая его нулю получим уравнение
.
Откуда 
№13
Балка длиной l в середине пролета нагружена силой F. Размеры поперечного сечения по длине балки не меняются. Модуль упругости материала Е задан. Угол поворота сечения В равен …
|
| 
| ||
| |||
| |||
|
Решение:
При решении задачи используем интегралы Мора, которые вычислим по способу Верещагина. Построим эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки и от единичного момента, приложенного к сечению В (эпюры построены на сжатом слое).
Перемножим эпюры:
Знак «плюс» показывает, что сечение В поворачивается в направлении единичного момента (по часовой стрелке).