Пропорции тела человека соответствуют золотому сечению. Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения. Они используют мерки с тела человека, сотворенного также по принципу золотой сечения. Леонардо Да Винчи и Ле Корбюзье перед тем как создавать свои шедевры брали параметры человеческого тела, созданного по закону Золотой пропорции.
Если принять центром человеческого тела точку пупа, а расстояние между ступней человека и точкой пупа за единицу измерения, то рост человека эквивалентен числу 1.618.
Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:
· - расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618
· - расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618
· - расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618
· - расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618
· - расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
· - расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618
Фракталы
Фрактал - термин, означающий сложную геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.
Следует отметить, что слово «фрактал» не является математическим термином и не имеет общепринятого строгого математического определения.
Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во первых это фрактальное сжатие изображений, и во вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И конечно же фракталы применяются непосредственно в самой математике.
Фракталы применяются и в программировании. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки. Фрактально упакованные картинки можно масштабировать без появления пикселизации. В основе алгоритма лежит поиск больших кусков изображения подобных некоторым маленьким кусочкам. И в выходной файл записывается только какой кусочек какому подобен. При сжатии обычно используют квадратную сетку (кусочки - квадраты), что приводит к небольшой угловатости при восстановлении картинки, шестиугольная сетка лишена такого недостатка.
Также фракталы применяются в моделирование, с помощью них можно создать компьютерные модели, имеющие шероховатые поверхности и которые при увеличении не будут иметь плоские поверхности
Но фракталы это ещё и очень красиво, с помощью них можно создавать фигуры, поразительной красоты.
Золотая спираль
При зрительном восприятии на картине предметов, изображенных на основе использования золотого сечения, ощущаются гармония, покой, соразмерность, стройность.
Напротив, ощущение динамики, волнения проявляется сильней всего в другой простейшей геометрической фигуре – спирали. Спираль – это плоская линия, образованная движущейся точкой, которая удаляется по определенному закону от начала луча, равномерно вращающегося вокруг своего начала. Если точка удаляется от начала равномерно (r=kj, где r – расстояние от начала, а j - угол поворота луча), то получается спираль Архимеда (рис. 11).
Рис. 11.
Ее главное свойство – всякий луч, проведенный через центр этой спирали, разделится ее витками на равные части. Длины их одинаковы при любом направлении луча. Эта длина называется шагом спирали Архимеда. Если же точка удаляется по экспоненциальному закону (r=kemj, рис. 12), то получается логарифмическая спираль. Частым случаем логарифмической спирали является интересующая нас золотая спираль: она получается в том случае, если начало луча и параметры k и m экспоненциального закона выбраны так, чтобы спираль проходила через три из четырех вершин каждого из последовательно построенных на рис. 12 «золотых прямоугольников».
|
Рис. 12.
Многофигурная композиция, выполненная в Рафаэлем, когда прославленный живописец создал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован известным итальянским графиком Маркантонио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру «Избиение младенцев» (рис. 13).
|
Рис. 13.
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции – точки, где пальцы война сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, – вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мячом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается… золотая спираль! Это можно проверить, изменяя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой.
Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции «Избиение младенцев» или только «чувствовал» ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где у нас обозначено лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонде: арка моста, идущая от головы женщины, – в левой части композиции и лежащее тело ребенка – в ее центре.
В композиции прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает характер спирали, а гармоничность – выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали.
Симметрия
Обратимся сначала к четким математическим формулировкам.
1. Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра.
2. Осевая симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а.
3. Зеркальная симметрия – отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно плоскости a.
Симметрия (соразмерность, одинаковость в расположении частей какого-либо рисунка относительно точки, прямой, плоскости) – это понятие не только чисто математическое. Она есть и в творениях природы (животные, листья растений, кристаллы), и в творениях конструкторов, архитекторов, скульпторов, художников (рис. 14) и т. д.
|
|
Рис. 14.
Для анализа симметрии изображения лучше взять картину с более простой композицией. Можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» (рис. 15). Обратите внимание: фигура мадонны и ребенка вписывается в правильный треугольник, который вследствие симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова Мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.
Рис. 15.
Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать об асимметрии. Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребенка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И, кроме того, есть одна в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной замкнутости, завершенности линий фигуры Мадонны создается впечатление полного безразличия Мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Все ее мысли сосредоточены только на нем. И вдруг вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся с взглядом ребенка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него картина раскрывается на внешний мир. Попробуйте мысленно убрать эту чудесную асимметрию, повернуть лицо младенца к матери, соединить их взгляды. Разве вы не чувствуете, что от этого картина сразу беднее, менее выразительна.
Получается, что всякий раз, когда мы восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпанной проблемы – проблемы соотношения между симметрией и асимметрией. Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает о том, что анализ симметрии – асимметрии очень полезен: картина начинает восприниматься острее.
Вот перед нами знаменитая «Тайная вечеря» Леонардо да Винчи (рис. 16). Двенадцать апостолов расположены вокруг своего учителя четырьмя группами: по две группы с каждой стороны от него и по три человека в каждой группе. Вся композиция строго симметрична и строго уравновешена относительно вертикальной оси, проходящей через ее главную точку.
|
Рис. 16.
Симметрия тесным образом связана с золотым сечением. Великий русский кристаллограф (1863...1925) считал золотое сечение одним из проявлений симметрии. Золотое деление не есть проявление асимметрии, чего-то противоположного симметрии. Согласно современным представлениям золотое деление – это асимметричная симметрия. В науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия. Статическая симметрия характеризует покой, равновесие, а динамическая – движение, рост. Так, в природе статическая симметрия представлена строением кристаллов, а в искусстве характеризует покой, равновесие и неподвижность. Динамическая симметрия выражает активность, характеризует движение, развитие, ритм, она – свидетельство жизни. Статической симметрии свойственны равные отрезки, равные величины. Динамической симметрии свойственно увеличение отрезков или их уменьшение, и оно выражается в величинах золотого сечения возрастающего или убывающего ряда.
«Странные» свойства изображений
При выполнении чертежей, рисунков, подписей полезно знать о некоторых «странных» свойствах изображений. Выделяют четыре вида изображений:
1. неоднозначные, когда, рассматривая один и тот же рисунок, например, раскрытую книгу, можно видеть ее обращенную к нам то внутренней, то внешней стороной;
2. парадоксальные, когда на картине предметы даны плоскими, но на самом деле они трехмерные;
3. неопределенные, когда, глядя на дерево, мы не можем сказать, как распределены его ветки в пространстве: точная структура каждого дерева неповторима;
4. кажущиеся искаженными, когда две одинаковые дуги кажутся неравными из-за того, что штриховка верхней дуги дана с внешней стороны, а штриховка нижней дуги – с внутренней (рис. 17).
Рис. 17.
Обман зрения представляет особый интерес для художников (например, изображение Э. Боринга – «Леди и старуха» – рис. 18). Они широко используют в своей работе оптические иллюзии и зависимость восприятия определенного сочетания линий от нашего психологического настроя.
Рис. 18.
Геометрические формы
С середины XIX века отход от господствующей в это время в изобразительном искусстве натуралистической традиции резко ускоряется. Живопись, графика, скульптура обращаются к тому, что не доступно прямому («буквальному») восприятию.
Последняя выставка импрессионистов в 1886г. знаменует конец классического периода европейского искусства. Начиная с этого времени, в европейской живописи одно за другим возникают многочисленные течения: югендстиль, экспрессионизм, неоимпрессионизм, пуантилизм, символизм, кубизм, фовизм.
Кубизм – авангардское течение в изобразительном искусстве I-й четверти XX в. Официальная родословная кубизма начинается с картины «Авиньонские девушки» П. Пикассо (1907г.). Геометрическая красота фигур – именно то, что прежде всего бросается в глаза в этой картине (рис. 19).
Рис. 19.
Кубизм не оказал бы такого влияния на развитие мирового искусства, если бы остался делом одного – двух живописцев. Подхваченное десятками и сотнями художников со всех стран мира, это дело оказалось столь значительным потому, что расширило художественный кругозор Франции, раздвинув границы европейской эстетики.
Основоположниками кубизма являются художники П. Пикассо, Ж. Брак, Х. Грис и др.
Кубизм выдвинул на первый план конструирование объемной формы на плоскости, выявление простых устойчивых геометрических форм (куб, конус, цилиндр, шар), разложение сложных форм на простые.
В ранних кубистических работах (г.) формы предметов реального мира трактуются подчеркнуто объемно и сводятся к простым геометрическим телам: дома – кубы, крыши – пирамиды, стволы деревьев – цилиндры и т. д. Стремясь постичь внутреннюю структуру, кубисты показывают предмет с разных точек зрения, в различные временные моменты, а иногда, как бы находясь внутри изображаемых объектов, которые теряют целостность и распадаются на фрагменты (например, картины П. Пикассо «Сидящая женщина», 1908г. – рис. 20, «Дружба», 1908г. – рис. 21; картина Ж. Брака «Скрипка и кувшин», 1910г. – рис. 22).
| 
| 
|
Рис. 20. Рис. 21. Рис. 22.
Среди живописцев, преобразивших искусство XX в., Казимир Малевич занимает одно из первых мест; среди художников русского авангарда ему нет равных. Во всем мире известны его работы «Шагающий», «Косарь», «Жница» (г.) и др. с фигурами крестьян. Абстрактные цилиндрические формы, из которых складывается фигура – руки, ноги, верхняя и нижняя части фигуры,– как бы взаимозаменяемы. Яйцевидная голова, глазные щели, брус носа так же геометризованы.
Вопреки не прекращавшемуся сопротивлению широкой публики новое течение 1914г. распространилось на все области художественного творчества: картины, скульптуры, театральные декорации, иллюстрация книг и журналов, рисунки для тканей, модели одежды, музыка.
Кубизм был родоначальником бесчисленных модернистских течений XX века: абстракционизма, экспрессионизма, футуризма, супрематизма, конструктивизма, поп-арта и т. д.
1914 год – это момент, когда в русском искусстве обозначился перелом, то есть переход к нефигуративной, беспредметной изобразительности. Появляется плоскостная геометрическая живопись Каземира Малевича, которой он дает название «супрематизм» (картины «Черный квадрат», «Черный крест»).
Одним из видов абстракционизма является геометрическая абстракция, в основе которой лежит композиция геометрических или стереометрических фигур.