Г.В.Трещалов обращает внимание на следующее обстоятельство.
Как известно, кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости, а потенциальная линейно зависит от перепада высот.
В случае потока «масса» определяется удельным массовым расходом потока за единицу времени:
m' = ρ · v · S (1)
где m' — масса жидкости, проходящая через сечение S за единицу времени; ρ — удельная плотность этой жидкости; v — её скорость.
Поскольку расходу энергии за единицу времени в физике соответствует понятие мощности, то для потока в нашем случае удобно перейти от «энергетического» вида формул к «мощностному»:
WK = ρ · v · S · v2 / 2 (2)
WП = ρ · v · S · g · Δh (3),
где WK — «кинетическая мощность» потока, обусловленная его скоростью; ρ — его удельная плотность; S — площадь сечения этого потока; v — его скорость; WП — «потенциальная мощность» потока, обусловленная перепадом уровней на участке потока; g — ускорение свободного падения; Δh — перепад уровней.
Здесь есть один нюанс, не влияющий на обоснование самого факта наличия эффекта, но влияющий на его количественные характеристики: что считать перепадом Δh — перепад уровней поверхности потока или перепад уровней, который испытывает центр масс потока (для потока прямоугольного сечения неизменной ширины изменение уровня центра масс вдвое меньше изменения уровня поверхности)? Ответ — перепад уровней поверхности. Дело в том, что в классическом уравнении Бернулли два потециальных члена — это гравитационный потенциал, определяемый высотой центра масс, и давление, которое само по себе тоже может обеспечить разгон или подъём жидкости (об этом говорит, например, закон Торричелли). Для прямоугольного сечения потока с открытой поверхностью оба этих члена совпадают и равны ρ · g · h / 2, соответственно, при их суммировании двойка из знаменателя уходит, и потенциальная энергия такого потока определяется его полной глубиной, а её изменение — изменением полной глубины, что при неизменном уровне дна соответствует полному перепаду уровня поверхности.
Можно ли добиться снижения уровня открытого потока, чтобы получить перепад высот, и при этом не менять ни ширину русла, ни уровень дна потока? Трещалов говорит: можно, если увеличить его скорость! Тогда, в силу закона непрерывности потока, его сечение уменьшится прямо пропорционально возрастанию скорости, а поскольку ни ширина русла, ни уровень дна по условию не изменяются, то пропорционально возрастанию скорости снизится именно уровень поверхности потока:
h1 · v1 = h2 · v2 (4),
где h1 — исходная глубина потока; v1 — исходная (медленная) скорость потока; h2 — уменьшенная глубина потока после его ускорения; v2 — его скорость после ускорения.
Создания перепада уровней за счёт ускорения потока.
Индекс 1 относится к исходным параметрам потока, индекс 2 — к параметрам потока после ускорения.
Из формулы (4) можно найти возникающий перепад уровней поверхности потока Δh:
Δh = h1 – h2 = h1 · (v2 – v1) / v2 (5).
Также из формулы (4) можно найти и увеличенную скорость потока, необходимую для обеспечения нужного перепада уровней:
v2 = v1 · h1 / (h1 – Δh) (6).
Какую мощность, т.е. энергию в единицу времени, можно получить от потока? Она равна разности кинетических энергий до и после ускоряющего устройства плюс потенциальная энергия, высвобождающаяся при изменении уровня (всё это за единицу времени):
ΔW = WК1 – WК2 + WП (7).
Если ΔW в формуле (7) будет больше 0, то от потока можно получить полезный энергетический эффект, а если меньше 0 — то придётся затратить дополнительную внешнюю энергию для того, чтобы разогнать поток до необходимой скорости. На основании формул (2) и (3) с учётом формулы (5) получаем
ΔW = ρ · v1 · h1 · w · (g · h1 · (v2 – v1) / v2 + (v12 – v22) / 2) (8),
где w — ширина русла потока.
То же самое, но выраженное не через конечную скорость потока, а через перепад уровней:
ΔW = ρ · v1 · h1 · w · (g · Δh + v12 · (1 – h12 / (h1 – Δh)2) / 2) (9).
По сути, каждая из этих формул представляет ΔW как функцию трёх переменных. Две из них — это исходные параметры потока (его глубина h1 и скорость v1), а третий параметр является одним из параметров ускоренного потока, — это перепад уровней Δh (или уменьшившаяся глубина h2) либо увеличившаяся скорость v2. Прочие параметры (плотность жидкости ρ и ширина русла w) являются своеобразным коэффициентом, не влияющим на знак результата, поскольку в силу своей физической природы всегда положительны.
Расчёты показывают, что при относительно небольших значениях исходной скорости и перепада уровней результат может быть положительным. При этом результаты имеют ярко выраженный экстремум как по любому из выходных параметров потока, так и по его исходной скорости, и с излишним ростом любого из них результат уходит в минус! Характер этой зависимости наглядно демонстрируют трёхмерные графики из статьи Г.В.Трещалова.
Графики из статьи Г.В.Трещалова, демонстрирующие зависимость избыточной (извлекаемой) мощности от основных параметров формулы. Слева — от создаваемого перепада уровней h, справа — от увеличенной скорости потока v2.
Несколько иначе на результаты влияет исходная глубина потока h1. Из формулы (9) видно, что с ростом этого параметра отрицательное влияние большого перепада высот несколько отодвигается, а абсолютная мощность однозначно растёт. Поэтому чем глубже поток, тем большего выигрыша можно ожидать!
Графики из статьи Г.В.Трещалова, демонстрирующие зависимость избыточной (извлекаемой) мощности от создаваемого перепада уровней h и исходной глубины потока h1.
Проводя дальнейший анализ оптимальных условий, Г.В.Трещалов получает формулу оптимальной глубины выходного потока
h2 = 3√(v12 · h12 / g) (10).
Эта формула эквивалента формуле для так называемой «критической глубины» потока, приводимой в книгах по гидравлике, — то есть глубине русла, которая обеспечивает граничное состояние потока между спокойным и бурным типами течений при заданных расходе и ширине потока. Кстати, ярко выраженный минимум коэффициента гидравлических потерь на графике Никурадзе с экспериментальными данными скорее всего соответствует как раз этому режиму — энергия потока, текущего с заданной скоростью именно в таком состоянии минимальна, а значит, всю «избыточную» энергию исходного потока можно «безнаказано» извлечь и использовать для своих нужд!
Для обеспечения такого оптимального «критического» режима выходного потока необходимо использовать обратную связь, регулирующую перепад уровней Δh. Можно использовать для этих целей электронику и компьютерное управление, но есть и чисто механические пути решения этой задачи — гораздо более дешёвые и надёжные.