© Трещалов Герман Владиславович
Инженер-гидроэнергетик
Контакт с автором: erg@list.ru
Настоящая статья относится к разработкам в области альтернативной энергетики и анализирует материал, опубликованный в номере №3 за 2005 год журнала “Альтернативная энергетика и экология”. А именно статью “Бесплотинные ГЭС нового поколения на основе гидроэнергоблока”. (копию этой статьи можно найти по следующей ссылке https://www.erg.glb.net/3_2005leneyov.pdf)
____________________________________________________________
Не удовлетворившись приведенными в этой статье объяснениями, данными по этому поводу сотрудником ФИАН РФ Захаровым С.Д., мы сами попытались разобраться в этом вопросе и выяснить условия возникновения описанного эффекта, руководствуясь только законом сохранения энергии и балансом энергии в живых сечениях потока
Подоплека следующая.
Группа инженеров сконструировала гидравлическую турбину для получения энергии из безнапорного потока текущей воды (свободно-поточный гидроагрегат). Однако, при замере его мощности, вдруг выяснилось, что энергии он дает больше, чем согласно расчетам. Всем известно, что движущийся поток воды имеет кинетическую энергию, которую из этого потока можно извлечь (что и делают свободно-поточные турбины). Однако извлечь из потока всю его кинетическую энергию невозможно. Для этого его бы пришлось полностью остановить, и он уже перестал бы быть текущим потоком. Поэтому скорость потока воды на выходе рабочего органа турбины меньше, чем входящего и именно этой разницей и будет определяться эффективность установки. С учетом того, что кинетическая энергия, как известно, пропорциональна квадрату скорости и при уменьшении скорости, например, в 2 раза энергия уменьшается в 4, то нетрудно посчитать что, скажем, при скорости потока воды, входящего в турбину, равной 1м/c и выходящей скорости 0.5 м/с, мы сможем забрать у потока 75% его кинетической энергии.
Строго говоря, мощность свободно-поточных турбин вычисляется по полуэмпирической формуле (1) (эта формула также применима и для вычисления мощности ветровых турбин)
P = K * V 3 * S * p (1)
где
V - скорость входящего потока
S - площадь эффективного сечения турбины поперек потока
p - плотность движущейся среды.
K - постоянный коэффициент, зависящий от типа турбины и равный обычно 0.1 - 0.35
Эта формула представляет собой по сути как раз кинетическую энергию потока в единицу времени, поскольку V * S * p это есть масса воды проходящая через турбину в секунду и формула (1) принимает знакомый нам вид E = m * V 2 / 2 = (V * S * p) * V 2 / 2
Однако следует еще учесть, что при уменьшении скорости выходящего потока, согласно условия неразрывности потока, должна увеличиваться его площадь. Это приводит к ухудшению равномерности потока на выходе из турбины, увеличению турбулентности, что плохо сказывается на КПД установки. Для уменьшения вредного влияния этих факторов в традиционных турбинах на выходе иногда устанавливаются расширяющиеся конфузоры, что отчасти повышает КПД.
В эмпирический коэффициент K формулы (1) входит двойка из знаменателя формулы кинетической энергии, гидравлический и механический КПД турбины, потери на неравномерность и турбулентность выходящего потока и т.п., поэтому он и принимает значения не более 0.3. Этот коэффициент измеряется эмпирическим путем при помощи натурных испытаний конкретной турбины.
Часто этот коэффициент еще называют КИЭВ – коэффициент использования энергии водотока по аналогии с КИЭВ ветровых турбин - коэффициентом использования энергии ветра.
Но, вернемся к нашей машине. Как говорилось выше, она выдавала энергии даже больше, чем полная кинетическая энергия потока.
Мы попытались выяснить, откуда же взялась дополнительная энергия, полученная от машины, и только ли кинетической энергией обладает движущийся поток воды.
(мы здесь не рассматриваем внутреннюю, тепловую энергию воды, а также энергию межмолекулярных и межатомных связей воды, как вещества)
Представим себе кубометр воды размером 1м * 1м * 1м, движущийся со скоростью 1м/c.
Его кинетическая энергия не вызывает сомнений:
Ek = m * V 2 / 2 = 1000 (кг) * 1 (м/с) 2 / 2 = 500 (Дж) (2)
Однако есть еще и давление верхних слоев воды на нижние (потенциальная энергия). И если мы позволим растечься этому кубу воды, мы сможем ее извлечь. С учетом того, что центр масс этого куба находится на половине его высоты, т.е. h = 0.5 м, она равна:
Ep = m* g * h = 1000 (кг) * 9.8 (м/c2) * 0.5 (м) = 4900 (Дж) (3)
То есть потенциальная энергия этого кубометра воды почти в 10 раз превышает его кинетическую энергию. Нетрудно посчитать, что при скорости равной 0.5 м/с эта разница составит почти 40 раз.
Следует отметить, что в формуле (3) в качестве h принимается именнополовина высоты столба воды, поскольку для отдельного объема воды его высота по мере истечения будет уменьшаться от полной до нуля. Для бесконечного потока воды, имеющего постоянную глубину, который будет рассмотрен ниже, в качестве высоты столбы воды принимается полная глубина входящего потока.
Таким образом, мы видим, что в текущем потоке кроме кинетической энергии существует и потенциальная энергия, величина которой зависит от глубины потока. Но ее эксергия (т.е. та часть энергии, которая может быть извлечена, и которая в состоянии совершить работу) при обычных условиях равна нулю. Ведь вокруг любого об’ема воды находится точно такая же по свойствам (глубина, скорость, температура) вода. Это же можно отнести и к воздуху. Мы знаем, что в окружающем нас воздухе содержится значительное количество энергии, поскольку воздух имеет ненулевое давление и температуру. Но ее эксергия равна нулю по той же, вышеназванной причине, поэтому с энергетической точки зрения она бесполезна.
( Бродянский В.М. “Эксергетический анализ. Энергия: проблема качества” “Наука и Жизнь” №3,1982 г.) [1]
Теперь давайте представим себе, что мы извлекаем из кубометра воды, движущегося в потоке, часть его кинетической энергии и затрачиваем ее на “отодвигание” соседнего с ним кубометра воды. Т.е. притормаживая движущийся выше по течению об’ем воды мы будем ускорять следующий за ним (ниже по течению). Вследствие этого между ними возникнет разница в уровнях, и появляется потенциальная энергия разницы этих уровней, которую можно из потока извлечь. Возникает следующий вопрос: будет ли количество извлеченной потенциальной энергии больше, меньше или равно энергии, затраченной на ускорение второй части воды, то есть, иными словами на увеличение его кинетической энергии?
Прибегнем к услугам математики.
Для примера рассмотрим машину, схематически показанную на рис.1, позволяющую разгонять выходящий поток воды за счет частичного отбора энергии у входящего потока. То есть, это - машина с положительной обратной связью между энергиями входящего и выходящего потоков. Кстати, машина, работающая именно на этом принципе, и была изобретена. И именно с нее и началось повествование.
Рис. 1. Схема устройства
Пояснения к рис.1:
- 1 - рабочие элементы входного потока воды;
- 2 - рабочие элементы выходного потока воды;
- 3 - рабочие элементы, обеспечивающие положительную обратную связь между
- входным и выходным потоками воды;
- 4 - отметка уровня горизонта входного потока воды;
- 5 - отметка уровня горизонта выходного потока воды;
- 6 - дно русла;
- H1 - эффективная глубина входного потока воды;
- Н2 - глубина выходного потока воды;
- V1 - скорость входного потока воды;
- V2 - скорость выходного потока воды;
- h - перепад уровней входного и выходного потоков воды;
Принцип работы установки следующий.
Рабочие органы входного потока 1 извлекают часть кинетической энергии из потока и передают ее при помощи обратной связи 3 рабочим элементам выходного потока 2, дополнительно ускоряющим выходной поток. Поскольку расход воды, входящий в установку, равен выходящему, и скорость вытекающего потока выше, чем входящего, то площадь сечения выходящего потока будет меньше, чем входящего. Следовательно, его глубина H2 будет меньше, чем глубина входящего потока H1 на величину h. Вследствие этого возникает потенциальная энергия разницы уровней горизонтов входящего и выходящего потоков.
Математические выкладки следующие:
- g ускорение свободного падения равное 9.8 м / c2;
- p плотность текущей среды (кг / м3);
- L погонная длина установки поперек потока (эффективная ширина потока) (м);
- H1 эффективная глубина входного потока (м);
- H2 глубина выходного потока (м);
- V1 скорость входного потока (м / c);
- h перепад уровней входного и выходного потоков текущей среды (м);
- V2 скорость выходного потока (м/c);
- K1 кинетическая энергия входного потока (Дж);
- K2 кинетическая энергия выходного потока (Дж);
- Ph потенциальная энергия перепада уровней входного и выходного потоков (Дж);
- E1 полная энергия входного потока (Дж);
- E полезная энергия потока (Дж);
S = L * H1 эффективная площадь входного потока (м2); (4)
Q = S * V1 расход текущей среды, проходящий через установку (м3/с); (5)
M = Q * p масса текущей среды, проходящая через установку (6)
в единицу времени (кг);
E1 = M * V1 2 / 2 кинетическая энергия входного потока (Дж); (7)
Ph = M * g * h потенциальная энергия разницы уровней входного и (8)
выходного потоков (Дж);
V2 = Q / (L *H2) скорость выходного потока (м/с); (9)
E2 = M * V2 2 / 2 кинетическая энергия выходного потока (Дж); (10)
Энергетический баланс установки следующий:
E = K1 + Ph – K2 полезная энергия (Дж); (11)
Суммарная энергия установки равна: потенциальная энергия разницы уровней б’ефов плюс кинетическая энергия входного потока минус кинетическая энергия выходного.
Или в общем виде:
E = M * (g * h + (V12 * (1 - (H1 / (H1 - h)) 2 ) / 2) (12)
или
E = M * (g * H1 * (1 - V1 / V2) + (V1 2 - V2 2 ) / 2) (13)
где M - масса воды входящая в установку в единицу времени, равная плотности воды умноженной на активную площадь входного потока и умноженную на его скорость.
Видно, что в уравнении левая часть в скобке будет линейно возрастать в зависимости от h или по гиперболе для V2, а правая будет убывать, причем по параболе. Построим зависимость энергии от перепада уровней h. График сделаем для различных величин входной скорости V1, приняв ее за константу.
Рис.2 Зависимость энергии от перепада уровней при различных значениях скорости входного потока
Как ни парадоксально это выглядит, но график зависимости энергии от перепада уровней имеет экстремум. Причем на восходящей ветви баланс энергии положителен (коэффициент мощности > 1), то есть извлекаемая потенциальная энергия будет больше затрачиваемой на ускорение выходящего потока кинетической, и установка будет саморазгоняться, пока не достигнет максимума. Энергия, выдаваемая установкой в этой точке, будет превышать кинетическую энергию входного потока в несколько раз. А при определенных соотношениях входной скорости и эффективной глубины в десятки и даже сотни раз.
При этом скорость выходящего потока будет существенно (порой в 2-3 раза) выше скорости входящего, а следовательно кинетическая энергия выходящего потока в 4-9 раз выше кинетической энергии входящего. Более того, как видно из графиков, не все “в порядке” и с входной скоростью. Она также имеет экстремум. Чтобы увидеть это лучше - построим трехмерную диаграмму.
Рис. 3. Зависимость энергии от разницы уровней (слева) и выходной скорости. (справа)
Как ни парадоксально это выглядит на первый взгляд, но, как можно видеть из диаграмм, существует оптимальная скорость входного потока, при превышении которой мощность установки будет резко падать. Это связано с существенными затратами энергии на разгон уже и без того быстродвижущегося потока.
На этих диаграммах остался один неучтенный параметр, а именно входная глубина H1. Но поскольку эти диаграммы уже является трехмерными, то чтобы отобразить зависимость энергии также и от этого параметра, изобразим последовательность трехмерных диаграмм для различных значений входной глубины потока.
Рис. 4. Зависимость энергии от трех параметров: разницы уровней h, входной скорости V1 и входной эффективной глубины H1 (0.9, 1.2, 1.5 и 1.8 м)
Как видно на этих диаграммах, энергия машины в зависимости от входной глубины растет нелинейно, почти по квадратичной зависимости. Как именно выглядит эта зависимость, мы рассмотрим ниже.
Может возникнуть вопрос: “А как же тогда выходящий поток, имеющий уменьшенную глубину, сопрягается с окружающим его потоком воды с нормальной, неизмененной глубиной”. Тут стоит как раз вспомнить, что скорость выходящего потока выше, чем окружающей среды и вследствие эффекта эжекции возникает, так называемый в гидравлике, “гидравлический прыжок”, который выравнивает несоответствия кинетической и потенциальной энергий двух потоков. Этот “прыжок” представляет собой, по сути, бурун, завихрение в потоке.
Давайте подробно рассмотрим, что же происходит с потоком, от чего зависит глубина и скорость выходящего потока, какова длина гидравлического прыжка и какие условия должны выполняться для получения подобного эффекта.
Во всех математических выкладках, приведенных ниже, участвуют только уравнение Бернулли (закон сохранения энергии) и уравнение неразрывности потока(закон сохранения массы)
Учитывая, что турбина, расположенная в потоке воды, извлекает из этого потока некоторую энергию, то обобщенное уравнение Бернулли для двух сечений свободного безнапорного потока - первого (до входа в установку) и второго (на выходе установки) без учета потерь, примет вид
MgH1 + MV12/2 = MgH2 + MV22/2 + E
где E - энергия, забираемая турбиной из потока
Следовательно, энергия, выделяемая на турбине равна
E = MgH1 – MgH2 + MV12/2 - MV22/2 (14)
Определим H2 = k * H1 или k = H2 / H1, где k - безразмерный коэффициент
тогда
E = MgH1 – MgkH1 + MV12/2 - MV22/2 (15)
выразим V2 через V1, принимая во внимание уравнение неразрывности потока, а именно H * V = const (при неизменной ширине потока в двух живых сечениях). Получаем:
H1* V1 = H2 * V2
откуда V2 = V1 * (H1 / H2) (16)
или V2 = V1 / k (17)
следовательно, соотношение скоростей входного и выходного потоков зависит только от соотношения высот (глубин) потоков (при одинаковой ширине)
Соответственно формула (15) принимает вид
E = MgH1 – MgkH1 + MV12/2 - MV12/2k2 (18)
или
E = MgH1 * (1 - k) + MV12/2 * (1 - 1 / k2) (19)
Найдем экстремум энергии относительно k
Для этого продифференцируем формулу (19) по k
E’ = 0 - MgH1 + 2MV12/2k3 = - MgH1 + MV12/k3 (20)
Приравнивая (20) нулю получаем
MgH1 = MV12/k3
откуда
k = (V12 / gH1) 1/3 (21)
Вывод: максимальное количество энергии от турбины получается при соотношении глубин входящего и выходящего потоков
k = H2 / H1 = (V12 / gH1) 1/3
и следовательно H2 = (H12 V12/ g) 1/3 или 
(22)
Согласно специальной литературе по гидравлике, например “Гидравлика”. Р.Р. Чугаева. [6] или “Гидравлика”.И.И. Агроскина, [7] мы видим, что формула (22), приведенная выше совпадает с формулами (7-49) [6] или (15-13) [7] соответствующими так называемой “критической глубине” потока – глубине, при которой поток находится в граничном состоянии между спокойным и бурным.
“Гидравлика” Р.Р. Чугаева (стр. 280)
Но почему же глубина выходящего потока будет равна критической глубине? Дело в том, что удельная энергия потока при критической глубине минимальна и, как можно заметить, увеличение скорости выходного потока при постоянстве удельного расхода, а следовательно, уменьшение его глубины, происходит с положительным коэффициентом мощности (большим 1). То есть происходит выделение из потока энергии, частично затрачиваемой при помощи обеспечиваемой машиной обратной связи на дополнительный разгон выходящего потока. И этот процесс будет происходить до тех пор, пока коэффициент мощности не станет равным единице, т.е. пока состояние потока не станет критическим.
