Занятие №2. Математические операции над случайными величинами.

Вначале введем понятие независимости случайных величин.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины X и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету, будут независимыми, так как при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при X=x_i) закон распределения выигрыша по другому билету (Y) не изменится. Если же случайные величины X и Y выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае X и Y являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (X=x_i) приводит к изменению вероятности выигрыша по другому билету (Y), то есть к изменению закона распределения Y.

Определим математические операции над ДСВ.

Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, …, n).

m-й степенью случайной величины Х, то есть Х^m, называется случайная величина, которая принимает значение с теми же вероятностями p_i (i=1, 2, …, n).

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и Y называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида x_i+y_j (x_i-y_j или x_i∙y_j), где i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, m, с вероятностями p_ij того, что случайная величина Х примет значение x_i, а Y – значение y_j: p_ij=Р[(X=x_i) (Y=y_j)].

Если случайные величины Х и Y независимы, то есть независимы любые события X=x_i, Y=y_j, то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

p_ij=Р(X=x_i)∙Р(Y=y_j) = p_i∙p_j.

Занятие №3. Числовые характеристики ДСВ. Математическое ожидание.

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Для решения многих задач достаточно знать математическое ожидание. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем у второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй, и, следовательно, стреляет лучше второго. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения задач, подобных приведенной и многих других, знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Пусть случайная величина Х может принимать только значения х₁, х₂, …, х_n, вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством

М(Х)=х₁р₁+х₂р₂+…+х_np_n.

То есть .

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

.

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

.

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Доказать приведенные свойства учащиеся могут самостоятельно.

Задачи: