Выполнение арифметических операций над числами в некоторой позиционной системе счисления с основанием X аналогично выполнению операций над числами в десятичной системе счисления, при этом также учитывают, что X единиц младшего разряда составляют одну единицу старшего разряда: 910+1=1010, F16+1=1016, 78+1=108, 12+1=102.
При сложении двух однозначных чисел (в сумме не меньших основания) можно второе слагаемое представить суммой двух чисел (одно из которых дополняет первое слагаемое до основания X).
Примеры:
· 710+710=710+(310+410)=(710+310)+410=1010+410+=1410;
· B16+C16=B16+(516+716)=(B16+ 516)+716=1016+716=1716 (так как B16=1110, C16=1216);
· 38+98=38+(58+48)=(38+58)+48=108+48=148;
· 12+12=12+(12+02)=(12+12)+02=(102)+02=102.
Аналогичным образом можно выполнить операцию сложения над многозначными числами, например, как известно, чтобы в десятичной системе счисления найти сумму двух чисел 525+768 складывают отдельно соответствующие разряды, при этом полученные 10 единиц младшего разряда преобразуют в единицу старшего разряда (прибавляют к цифре старшего разряда). Также можно выполнить операции сложения над числами с основанием X. Например, B2516+79C16, 5238+7168, 11012+10012
| 52510 +768 10________ 5 2 510 + 7 6 8 10 (10+2) 8 (10+3) 10 1 2 (8+1) 3 10 129310 | B2516 +79C 16______ B 2 516 + 7 9 С 16 (10+2) B (10+1) 16 1 2 (B+1) 1 16 12C116 | 5238 +716 8________ 5 2 38 + 7 1 6 8 (10+4) 3 (10+1) 8 1 4 (3+1) 1 8 14418 | 11012 +1001 2________ 1 1 0 12 + 1 0 0 1 2 (10+0) 1 0 (10+0) 2 1 0 1(0+1) 0 2 101102 |
Таким образом, B2516+79C16=12C116, 5238+7168=14418, 11012+10012=101102.
Для проверки правильности выполнения операций сложения можно перевести каждое число в десятичную систему счисления. Попробуйте выполнить эту проверку самостоятельно.
Вычитание чисел с основанием X можно выполнять также как в десятичной системе счисления, при этом также учитывают, что: 1010–1=910, 1016–1=F16, 108–1=78, 102–1=12. Например, как известно, чтобы в десятичной системе счисления найти разность двух чисел 251–128 вычитают отдельно соответствующие разряды и, при необходимости, в вычитаемом единицу старшего разряда преобразуют в 10 единиц и добавляют к младшему разряду. Также можно выполнить операции вычитания над числами с основанием X. Например, 2C116–13416, 3628–1248, 11102–10012
|
|
| 25110 –128 10________ 2 (4+1) 110 – 1 2 8 10 Или 2 4 (10+1)10 – 1 2 8 10 12310 | 2C116 –134 16______ 2 (B+1) 116 – 1 3 4 16 Или 2 B (10+1)16 – 1 3 4 16 18D16 | 3628 –124 8________ 3 (5+1) 28 – 1 2 4 8 Или 3 5 (10+2)8 – 1 2 4 8 2368 | 11102 –1001 2________ 1 1 (0+1) 12 – 1 0 0 1 2 Или 1 1 0 (10+0)2 – 1 0 0 1 2 01012 |
Таким образом, 2C116–13416=18D 16, 3628–1248=2368, 11102–10012=1012.
Для проверки правильности выполнения операций вычитания можно перевести каждое число в десятичную систему счисления. Попробуйте выполнить эту проверку самостоятельно.
Умножение чисел в системе счисления с основанием X можно выполнять также как десятичной системе счисления, учитывая, что: AX·2=AX+AX, AX·3=AX+AX+AX и т.д. Например
| 2416 ·35 16____________ (2·5) (4·5)16 +(3·2) (3·4) 16____ Или A (10+4)16 + 6 C 16______ Или (A+1) 416 + 6 C 16______ Или B 416 + 6 C 16______ 6 (10+7) 4 16_ 77416 | 258 ·23 8____________ (2·3) (5·3)8 +(2·2) (5·2) 8____ Или 6 (10+7)8 + 4 (10+2) 8______ Или (6+1) 78 + (4+1) 2 8______ Или 7 78 + 5 2 8______ 5 (10+1) 7 8_ 6178 | 10012 ·101 2________ 1 0 0 12 0 0 0 02 1 0 0 1 2_____ 1 0 1 1 0 12 |
Таким образом, 2416·3516=774 16, 258·238=6178, 10012·1012=1011012.
Для проверки правильности выполнения операций умножения можно перевести каждое число в десятичную систему счисления. Попробуйте выполнить эту проверку самостоятельно.
Деление чисел в системе счисления с основанием X можно выполнять также как десятичной системе счисления углом, но для наглядности эту операцию можно представить следующим образом, например, 64210:1210
|
|
Выделяем старшие разряды (десятки), которые можно делить на 12:
6410:1210= 5 единиц старшего разряда (остаток 4 единицы старшего разряда)
Преобразуем остаток (4 единицы старшего разряда) в 40 единиц следующего младшего разряда и добавим 2 единицы младшего разряда (числа 642) и продолжим деление
42:12= 3 единицы (остаток 6 единиц)
Вновь преобразуем остаток (6 единиц) в 60 единиц следующего младшего разряда (то есть в десятые доли) и продолжим деление
60:12= 5 десятых (остаток 0)
Так как остаток равен нулю, то деление прекращаем и записываем результат 64210:1210=53,510.
Аналогичным образом можно выполнить операцию деления над числами с основанием X, например, 12028:148, 28216:C16, 11112:1102
Выполним операцию 12028:148. Вначале выделяем старшие разряды (120), которые можно делить на 148:
1208:148= 6 единиц старшего разряда (остаток 108 единиц старшего разряда)
Преобразуем остаток (108 единиц старшего разряда) в 100 единиц следующего младшего разряда и добавим 2 единицы младшего разряда (числа 12028) и продолжим деление
1028:148= 5 единицы (остаток 6 единиц)
Вновь преобразуем остаток (6 единиц) в 60 единиц следующего младшего разряда и продолжим деление
608:148= 4 доли (остаток 0)
Так как остаток равен нулю, то деление прекращаем и записываем результат 12028:148=65,48.
Выполним операцию 28216:C16. Вначале выделяем старшие разряды (28), которые можно делить на C16:
2816:C16= 3 единицы старшего разряда (остаток 4 единицы старшего разряда)
Преобразуем остаток (4 единицы старшего разряда) в 40 единиц следующего младшего разряда и добавим 2 единицы младшего разряда (числа 28216) и продолжим деление
|
|
4216:C16= 5 единиц (остаток 6 единиц)
Вновь преобразуем остаток (6 единиц) в 60 единиц следующего младшего разряда и продолжим деление
6016:C16=8 долей (остаток 0)
Так как остаток равен нулю, то деление прекращаем и записываем результат 28216:C16=35,816.
Выполним операцию 11112:1102. Вначале выделяем старшие разряды (111), которые можно делить на 1102:
1112:1102= 1 единица старшего разряда (остаток 1 единицы старшего разряда)
Преобразуем остаток (1 единицу старшего разряда) в 10 единиц следующего младшего разряда и добавим 1 единицы младшего разряда (числа 11112) и продолжим деление
112:1102= 0 единиц (остаток 11 единиц)
Вновь преобразуем остаток (11 единиц) в 110 единиц следующего младшего разряда и продолжим деление
1102:1102=1 доля (остаток 0)
Так как остаток равен нулю, то деление прекращаем и записываем результат 11112:1102=10,12.
Таким образом, 28216:C16=35,816, 12028:148=65,48, 11112:1102=10,12.
Для проверки правильности выполнения операций деления можно перевести каждое число в десятичную систему счисления. Попробуйте выполнить эту проверку самостоятельно.
Кодирование информации