Как найти вектор по двум точкам?





Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Пример

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Можно и так:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и следует хорошо понимать эту разницу.

Пример

Даны точки . Найти векторы .

Как найти длину отрезка?

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание:Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Пример

Даны точки и . Найти длину отрезка .


Ответ:

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Пример

Даны точки и . Найти длину вектора .

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле вычислим длину вектора:

Ответ:

Пример

а) Даны точки и . Найти длину вектора .
б) Даны векторы , , и . Найти их длины.

а) Решение: найдём вектор :

Вычислим длину вектора:

Ответ:

б)Решение:
Вычислим длины векторов:

Действия с векторами в координатах

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: .

Частный случай – формула разности векторов: .

Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, например, найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор умножить на число , необходимо каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Пример

Даны векторы и . Найти и

Решение:Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

 





Читайте также:
Как оформить тьютора для ребенка законодательно: Условием успешного процесса адаптации ребенка может стать...
Основные идеи славянофильства: Славянофилы в своей трактовке русской истории исходили из православия как начала...
Конфликтные ситуации в медицинской практике: Наиболее ярким примером конфликта врача и пациента является...
Основные признаки растений: В современном мире насчитывают более 550 тыс. видов растений. Они составляют около...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.084 с.