Если даны две точки плоскости 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты:
Если даны две точки пространства 
и 
, то вектор имеет следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Пример
Даны две точки плоскости 
и 
. Найти координаты вектора
Решение: по соответствующей формуле:
Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Можно и так: 
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису 
, в данном случае 
. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: 
, а смысл координат абсолютно разный, и следует хорошо понимать эту разницу.
Пример
Даны точки 
. Найти векторы 
.
Как найти длину отрезка?
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле 
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: 
и 
, но более стандартен первый вариант
Пример
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка .
Ответ: 
Если дан вектор плоскости 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
|
|
Если дан вектор пространства 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Пример
Даны точки 
и 
. Найти длину вектора .
Решение: Сначала найдём вектор :
По формуле вычислим длину вектора:
Ответ: 
Пример
а) Даны точки 
и 
. Найти длину вектора 
.
б) Даны векторы 
, 
, 
и 
. Найти их длины.
а) Решение: найдём вектор :
Вычислим длину вектора:
Ответ: 
б) Решение:
Вычислим длины векторов:
Действия с векторами в координатах
1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости 
и 
. Для того, чтобы сложить векторы, необходимо сложить их соответствующие координаты: 
.
Частный случай – формула разности векторов: 
.
Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, например, найдём сумму трёх векторов: 
Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы 
, то их суммой является вектор 
.
2) Правило умножения вектора на число. Для того чтобы вектор умножить на число 
, необходимо каждую координату данного вектора умножить на число :
.
Для пространственного вектора 
правило такое же:
Пример
Даны векторы 
и 
. Найти 
и 
Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:
Ответ: 