Что будет, если вектор умножить на самого себя?
Или:
Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .
Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:
Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:
С войства скалярного произведения.
Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.
2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.
3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.
Пример
Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .
Решение:
(1) Подставляем выражения векторов .
(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов. Раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения.
(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .
(4) Приводим подобные слагаемые: .
(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .
(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.
Ответ:
Пример
Найти длину вектора , если .
Решение:
(1) Поставляем выражение вектора .
(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .
|
(3) Используем школьную формулу квадрата суммы .
(4) Дальнейшее аналогично действиям из двух предыдущих задач.
Ответ:
Угол между векторами
Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.
.
Пример
Найти угол между векторами и , если известно, что .
Решение: Используем формулу:
На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .
Итак, если , то:
Ответ:
Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.
Пример
Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .
Алгоритм решения:
1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .
2) Находим скалярное произведение .
3) Находим длину вектора и длину вектора .
4) Нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:
Сделайте самостоятельно и сравните с решением.
Решение: Найдём скалярное произведение:
Найдём длину вектора :
Найдём длину вектора :
Таким образом:
Ответ:
Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе
В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.
Скалярное произведение векторов и , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой
Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой
То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.
|
Пример
Найти скалярное произведение векторов:
а) и
б) и , если даны точки
Решение:
а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле :
б) Сначала найдём векторы:
По формуле вычислим скалярное произведение:
Ответ: