Скалярный квадрат вектора




Что будет, если вектор умножить на самого себя?

Или:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом,скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Свойства скалярного произведения.

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Пример

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Решение:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов. Раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Пример

Найти длину вектора , если .

Решение:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы .

(4) Дальнейшее аналогично действиям из двух предыдущих задач.

Ответ:

Угол между векторами

Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

.

Пример

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Ответ:

Не забываем указывать размерность – радианы и градусы.

Пример

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение .

3) Находим длину вектора и длину вектора .

4) Нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Сделайте самостоятельно и сравните с решением.

Решение: Найдём скалярное произведение:

Найдём длину вектора :

Найдём длину вектора :

Таким образом:

Ответ:

 

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства.

Скалярное произведение векторов и , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

Скалярное произведение векторов , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой

То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов.

Пример

Найти скалярное произведение векторов:
а) и
б) и , если даны точки

Решение:
а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле :

б) Сначала найдём векторы:

По формуле вычислим скалярное произведение:

Ответ:





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!