Координаты вектора на плоскости и в пространстве





Практикум по аналитической геометрии

Тема 4. Понятие вектора. Действия с векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела - зайти в двери университета или выйти из дверей университета – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

Обозначения. Вектор можно записать со стрелкой: , но в высшей математике чаще используется запись

Способы записи векторов.

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

 

Понятие свободного вектора. Вектор можно отложить от любой точки.

Почему свободный? Потому что в ходе решения задач можно «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ нужную точку плоскости или пространства.

 

Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости.

(Пример: у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – уже лишнее.)

Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

Сами базисные векторы записываются так: и

Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве.

Ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и .

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: .

Аналогично используются следующие обозначения: или .

Базисные векторы записываются следующим образом:

 

Простейшие задачи





Читайте также:
Своеобразие романтизма К. Н. Батюшкова: Его творчество очень противоречиво и сложно. До сих пор...
Примеры решений задач по астрономии: Фокусное расстояние объектива телескопа составляет 900 мм, а фокусное ...
Роль химии в жизни человека: Химия как компонент культуры наполняет содержанием ряд фундаментальных представлений о...
Основные этапы развития астрономии. Гипотеза Лапласа: С точки зрения гипотезы Лапласа, это совершенно непонятно...

Рекомендуемые страницы:


Поиск по сайту

©2015-2020 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-02-16 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту:

Обратная связь
0.016 с.