Практикум по аналитической геометрии
Тема 4. Понятие вектора. Действия с векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.
Понятие вектора
Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:
Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор 
, и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела - зайти в двери университета или выйти из дверей университета – это совершенно разные вещи.
Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором 
. У такого вектора конец и начало совпадают.
Обозначения. Вектор можно записать со стрелкой: 
, но в высшей математике чаще используется запись
Способы записи векторов.
1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.
2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка 
. Длина нулевого вектора равна нулю. Длина вектора обозначается знаком модуля: 
, 
Понятие свободного вектора. В ектор можно отложить от любой точки.
Почему свободный? Потому что в ходе решения задач можно «пристроить» тот или иной вектор в ЛЮБУЮ нужную точку плоскости или пространства.
Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: 
, при этом возможна детализация: 
(векторы сонаправлены) или 
(векторы направлены противоположно).
|
|
Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину.
Координаты вектора на плоскости и в пространстве
Рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы 
и 
:
Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны.
Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: 
.
Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости.
(Пример: у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – уже лишнее.)
Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему
Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.
Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: 
. Координатные векторы нельзя переставлять местами.
Любой вектор 
плоскости единственным образом выражается в виде:
, где 
– числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .
Сами базисные векторы записываются так: 
и 
Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве. 
|
|
О ртонормированный базис 
трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы 
данного базиса попарно ортогональны: 
и 
.
Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где 
– координаты вектора 
(числа) в данном базисе.
Пример с картинки: 
.
Аналогично используются следующие обозначения: 
или 
.
Базисные векторы записываются следующим образом:
Простейшие задачи