Определение. Случайную величину x называют дискретной, если множество ее возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т.е. конечно или счетно.
Пусть возможные значения дискретной случайной величины xупорядочены по возрастанию
x 1 ≤ x 2 ≤¼≤ x n ≤¼..
Рассмотрим события Ai, содержащие все элементарные события w, приводящие к значению xi:
A i= {w: x = x i }, i= 1, 2, ¼
Пусть pi обозначает вероятность события Ai:
pi = R (Ai) =R (w: x = xi ), i= 1, 2, ¼.
События Ai - несовместные события, которые составляют разбиение пространства элементарных событий Ω, т.е. Ω = 
Ai.
Тогда для вероятностей pi выполняются свойства
p i ³ 0, i= 1, 2, ¼ 
= 1. (2.2)
Закон распределения дискретной случайной величинызадается рядом распределения.
Ряд распределения дискретной случайной величины x может быть представлен таблицей, в первой строке которой помещают возможные значения xi, а во второй - вероятности pi, соответствующие этим значениям.
| x | x 1 | x 2 | … xn... |
| Pi | p 1 | p 2 | … pn… |
Кроме ряда распределения, дискретная случайная величина может быть задана с помощью функции распределения.
Определение. Функция распределения F(x) случайной величины x это такая функция переменной x, которая равна вероятности того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем заданное x,
F (x) =P (w: ¦ (w) £ x) (2.3)
для всех действительных чисел x.
Для дискретной случайной величины функция распределения определяется как сумма вероятностей для тех значений случайной величины, которые меньше заданного x. Обозначим через В (x) множество возможных значений случайной величины x, предшествующих числу x:
B (x) = { xi: xi £ x }. (2.4)
Тогда формулу(2.3) можно записать в виде
F (x) = 
. (2.5)
Приведем несколько примеров функций распределения дискретных случайных величин.
Пример 2.3. Правильный кубик подбрасывают один раз, и величина x обозначает число очков, выпавшее на его верхней грани. Построим функцию распределения этой случайной величины.
Решение. Обозначим через X возможные значения случайной величины x. В данном примере X ={1,2,3,4,5,6}, и вероятность появления грани с любым количеством очков равна рi = 
.
Напишем ряд распределения этой дискретной случайной величины
| х | 3 | |||||
| р | 
|
|
|
|
|
|
Построим функцию распределения по формуле (2.5). Для этого на числовой оси отметим точки из множества X. Они разбивают числовую ось O x на интервалы (-∞,1), [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6,+ ∞).
Последовательно будем вычислять функцию распределения на каждом из указанных выше интервалов. При любом 
множество B (x)={ xi: xi £ x } не содержит возможных значений случайной величины, т.е. является пустым множеством. Тогда по формуле (2.5)
F(x)= 
0.
При любом 
множество будет состоять из одного значения - 1:
В(x)={ xi: xi £ x }={1}. Тогда по формуле (2.5)
F(x)= 
p1 = .
При любом 
множество B (x)={ xi: xi £ x }={1,2}. Тогда по формуле
F (x) = 
p1+ p2= 
.
При любом 
множество B (x) = { xi: xi £ x }={1,2,3}. Тогда
F (x) = 
p1+ p2+ p3= 
.
При любом 
множество B (x)={ xi: xi £ x }={1,2,3,4}. Тогда
F (x) = p1+ p2+ p3+ p4= 
.
При любом 
множество B (x)={ xi: xi £ x }={1,2,3,4,5}.Тогда
F (x) = 
p1+ p2+ p3+ p4+ p5= 
.
При любом 
множество B (x)={ xi: xi £ x }={1,2,3,4,5,6} = X. Тогда
F (x) = p1+ p2+ p3+ p4+ p5+ p6= 1.
Заметим, что при переходе от одного интервала к другому множество B (x) расширяется на одно значение и от пустого множества переходит к множеству всех возможных значений X ={1,2,3,4,5,6}.
Все вычисления можно объединить в формулу
. (2.6)
Пример 2.4. Построим функцию распределения для появления числа гербов при трех подбрасываниях монеты (пример 2.1).
Решение. Ряд распределения был найден в примере 2.1.
| ξ | ||||
| 
| 
|
|
|
Обозначим через X множество всех возможных значений этой случайной величины X = { 0, 1, 2, 3 }. Заметим, что множество B (x) при любом x является подмножеством X. Числа из множества X разбивают числовую ось на интервалы (-¥,0), [0,1), [1,2), [2,3), [3,+¥).
Пусть x любое число из интервала (-¥, 0). Тогда множество B (x) не содержит значений случайной величины x, т.е. B (x) = Ø, следовательно, F (x)=0 при всех x из (-¥,0).
Возьмем любое x Î[0,1). Множество B (x) содержит значение 0:
B (x) ={0} и F (x) = p 0 = 
.
Возьмем x Î[1,2). Множество B (x) ={0,1}, и F (x) = p 0+ p 1= 
.
Для всех x Î[2,3) множество B (x) ={0,1,2}, и F (x)= p 0+ p 1+ p 2= 
.
Для всех x Î[3,¥) множество B (x)={0,1,2,3}= X. Отсюда следует
F (x) = p 0+ p 1+ p 2+ p 3= 
.
Запишем полученные значения функции распределения на отдельных интервалах в виде формулы
.
Построим график функции распределения F (x) дискретной случайной
величины
F(x)
0 1 2 3 x