Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание случайной величины

Закон распределения случайной величины является наиболее полной ее характеристикой. Он одновременно указывает и на значение случайной величины и на его вероятность. Однако часто в теории вероятностей и в ее приложениях большую роль играют постоянные числа, которые можно получить, используя законы распределения. В этом параграфе рассмотрим математическое ожидание или среднее значение случайной величины.

Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

x_i x ₁ x ₂,…, x_n,…

p_i p ₁ p ₂,…, p_n,…

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины x называется сумма произведений возможных значений x_i на соответствующие им вероятности p_i. Будем обозначать математическое ожидание как M (x). Тогда можно написать, что математическое ожидание вычисляется по формуле

M (x)= x ₁ p ₁ +x ₂ p ₂ +… x_n p_n +…= , (2.15)

если числовой ряд сходится абсолютно. Если числовой ряд (2.15) расходится или сходится условно, то в этом случае математическое ожидание случайной величины x не существует.

Пример 2.6. Найдем среднее число очков при одном подбрасывании правильного кубика. Используя ряд распределения из примера 2.3

x_i 1 2 3 4 5 6

p_i

по формуле (2.15) находим математическое ожидание

M (x)=1* +2* + 3* + 4* + 5* + 6* =3,5.

Пример 2.7. Найдем среднее число суммы очков на двух кубиках.

Используя ряд распределения

η 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

p_i ,

получаем

M(x)=2× +3× +4× +5× +6× +7× +8× +9× +10× +11× +12× = =7.

Пусть x обозначает непрерывную случайную величину с плотностью вероятности f (x).

Определение. Математическим ожиданием M (x) абсолютно непрерывной случайной величины x называется величина, равная

, (2.16)

если этот несобственный интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины x не существует.

Пример 2.8. Пусть случайная величина x имеет равномерный закон распределения. В этом случае плотность вероятности f (x) имеет вид

. (2.17)

Тогда по формуле (2.16) получаем формулу для вычисления математического ожидания равномерно-распределенной случайной величины M(x)= = + + = = .

Пусть x обозначает дискретную случайную величину с рядом распределения

x_i x ₁ x ₂ ,…, x_n,…

p_i p ₁ p ₂ ,…, p_n,…,

и g (x) – некоторая функция переменной x. Новая случайная величина η = g (ξ) будет дискретной случайной величиной с рядом распределения

g (x_i)

p_i p ₁ p ₂, …, p_n …,

причем вероятности этих значений остаются теми же, что и для случайной величины x, а значениями будут числа g (x_i). Тогда математическое ожидание случайной величины η = g (ξ)можно вычислить по формуле

. (2.18)

Пусть x обозначает случайную величину с плотностью вероятности f (x). Тогда математическое ожидание случайной величины η = g (ξ)можно вычислить по формуле

, (2.19)

если несобственный интеграл сходится абсолютно.

Определение. Математическое ожидание дискретной случайнойвеличины определяется формулой

, (2.20)

если числовой ряд (2.20) сходится абсолютно.