Интервальная оценка дисперсии нормального распределения

Построим доверительный интервал для дисперсии D=σ² наблюдаемой случайной величины ~ по случайной выборке при неизвестном математическом ожидании.

Введем случайную величину (статистику) , (3.36)

которая согласно утверждению 2 теоремы Фишера имеет распределение с степенями свободы. Поскольку плотность распределения этого закона асимметрична, доверительный интервал, соответствующий надежности β, найдем из формулы (3.31) в виде:

. (3.37)

Обычно доверительный интервал для случайной величины выбирают так, чтобы вероятность ее попадания за пределы этого интервала влево и вправо была одинаковой (рис. 3.9):

.

Тогда условия для определения значений и будут иметь вид:

, . (3.38)

По таблице квантилей - распределения (табл. С приложения) найдем

, . (3.39)

Рис. 3.9

Неравенства эквивалентны неравенствам , поэтому

.

Следовательно, интервал

(3.40)

является доверительным интервалом дисперсии, соответствующим доверительной вероятности β.

Пример 3.3. По данным выборочного контроля найти выборочное математическое ожидание и несмещенную оценку дисперсии нормальной случайной величины ξ. Найти доверительные интервалы для них, соответствующие доверительной вероятности β = 0,98.

Таблица 3.4

 

Решение. Выборочное математическое ожидание найдем по формуле (3.14), используя табл.3.4

При .

Несмещенную выборочную дисперсию вычислим по формуле (3.19):

, .

Доверительный интервал для математического ожидания определим по формуле (3.35). При из таблицы А приложения находим квантиль распределения Стьюдента . Вычислив предельную ошибку ,

получим искомый доверительный интервал для математического ожидания:

.

Границы доверительного интервала для дисперсии определим по формуле (3.20). По таблице квантилей распределения χ² (см. табл. С приложения) при определим квантили:

, .

Подставив эти значения, а также и в формулу (3.20), получим искомый доверительный интервал для дисперсии

.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется выборкой?

2.Как произвести оценку выборочного математического ожидания и выборочной дисперсии?

3.Как найти функцию распределения для дискретной случайной величины?

4.Что такое несмещенная оценка параметра?

5.Дайте определение состоятельной оценки.

6.Что такое интервальная оценка?

 

Заключение

В результате изучения выше приведенного материала студент может приступить к выполнению контрольной работы и проверить свои ответы на вопросы самоконтроля. Затем после выполнения лабораторных работ может приступить к ответам на вопросы экзаменационного теста и получить оценку за проделанную работу.

 

Глоссарий

Биномиальное распределение с параметрами n и p – вычисление вероятности того, что случайная величина принимает значения m= 0, 1,…, n.

Вариационный ряд – последовательность элементов выборки, расположенных в неубывающем порядке (одинаковые элементы записываются последовательно друг за другом).

Вероятность произведения двух независимых событий – произведение вероятностей этих событий.

Вероятность события -- отношение числа исходов m события А к общему числу элементарных событий N.

Возможные значения случайной величины – числа ¦(w).

Выборка – последовательность значений из генеральной совокупности;

- объема k - часть, состоящая из k элементов генеральной совокупности;

- репрезентативная – позволяет адекватно описать случайную величину

- случайная объема n – последовательность n независимых случайных величин из генеральной совокупности.

Выборочная дисперсия – величина, равная сумме квадратов разностей между значением случайной величины и ее математическим ожиданием, деленная на объем выборки.

Выборочное среднее – число, равное сумме значений случайной величины, деленной на объем выборки.

Генеральная совокупность – конечная или бесконечная совокупность наблюдений над случайной величиной.

Геометрическое определение вероятности – отношение площади S (A), соответствующей событию A, к площади всей области W.

Гипергеометрическое распределение – вычисление вероятности того, что случайная величина примет заданное значение через число сочетаний.

Гипотеза альтернативная – гипотеза, конкурирующая с основной;

-основная – гипотеза, которая проверяется;

-статистическая – предположение относительно параметров или закона распределения случайной величины.

Гистограмма – представление статистического ряда на плоскости.

Дискретная случайная величина - множество возможных значений образует конечную или бесконечную последовательность чисел, т.е. конечно или счетно.

Дисперсия случайной величины x – момент второго порядка случайной величины (x - M (x)).

Доверительная вероятность – вероятность, с которой производится оценка параметров.

Доверительный интервал – область значений, при которых основная гипотеза принимается.

Дополнение множества A – разность между всем множеством S и множеством А, которое является частью S.

Достоверное событие W – всегда наступает в условиях данного эксперимента.

Закон трех сигм – значения случайной величины ξ, имеющей нормальное распределение с параметрами m и σ,содержатся в интервале

Кривая распределения – график плотности вероятности.

Критерий значимости – вероятность ошибки 1-го рода.

Критерий

- согласия – правило, в соответствии с которым принимается решение;

- Колмогорова – проверка гипотезы о совпадении функций распределения.

Математическое ожидание дискретной случайной величины x – сумма ряда из произведений возможных значений x_i на их вероятности p_i.

Множество – некоторая совокупность объектов, называемых элементами множества.

Множество конечное – состоящие из конечного числа элементов, в противном случае – бесконечное множество.

 

Момент второго порядка случайной величины x – математическое ожидание квадрата этой случайной величины.

Моргана формулы или соотношения двойственности – правило для записи выражения, соответствующего «отрицанию» функции.

Невозможное событие – это такое, которое не может наступить в условиях данного эксперимента, т.е. это событие имеет пустое множество благоприятствующих исходов.

Независимые с обытия A и B – событие А происходит независимо от того, происходит событие В или нет.

Несовместные события A и B– не могут происходить одновременно.

Нормальное или гауссовское распределение – случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей при всех x

.

- хи-квадрат (Пирсона) – проверка гипотезы о совпадении дисперсий.

Относительная частота события A – показывает долю опытов, в которых наступило событие A при N экспериментах.

Оценка интервальная – доверительный интервал:

- несмещенная – математическое ожидание случайной величины в этом случае равно оцениваемому параметру;

- точечная – произвольная функция элементов выборки, когда параметр неизвестен.

Ошибка второго рода – событие, состоящее в том, что гипотеза принимается, когда на самом деле она неверна.

Ошибка первого рода – событие, состоящее в том, что гипотеза отвергается, когда на самом деле она верна.

Показательное распределение с параметром – это такоераспределение, плотность вероятности которого задается равенством

Произведение или пересечение множеств A и B– множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пространство элементарных событий – множество всех исходов данного эксперимента.

Противоположное событие – это событие, которое происходит в том случае, если не происходит событие А.

Пустое множество – множество, не содержащее элементов.

Равномерное распределение - случайная величина ξ на промежутке [ a,b ] имеет постояннуюплотность распределения вероятностей.

Размещение из n элементов по k элементов – упорядоченные выборки объема k без возвращения элементов.

Разность множеств A и B – множество, состоящее из всех элементов множества A, которые не содержатся в множестве B.

Ряд распределения – статистический ряд, записанный в виде таблицы.

Случайная величина – функция f, которая каждому элементарному событию w ставит в соответствие число ¦(w).

Событие – некоторое высказывание о результатах рассматриваемого эксперимента.

Сочетание из n элементов по k элементов - неупорядоченные выборки объема k без возвращения элементов.

Стандартное или средне-квадратическое отклонение - квадратный корень из дисперсии.

Статистика – результат наблюдения над случайной величиной.

Статистический ряд – последовательность различных значений, расположенных в возрастающем порядке, с указанием относительных частот.

Сумма или объединение множеств A и B – множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Уровень значимости статистического критерия – величина, определяющая степень достоверности вычислений.

Условие нормировки – площадь криволинейной трапеции под всей кривой распределения равна 1.

Условная вероятность – вероятность события A при условии, что событие B произошло.

Функция Лапласа - функция распределения стандартного нормального закона.

Функция распределения F(x) случайной величины x - вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного х.

Частный случай – если при каждом осуществлении события A происходит и событие B, то говорят, что событие A влечет событие B.

Частота события A – число экспериментов m_n (A), в которых наступило событие A.

Элементарные события – исходы (результаты) эксперимента.

Эмпирическая функция распределения – относительная частота события, заключающегося в том, что случайная величина примет значение, меньшее чем заданное число.