Построение разного рода оценок и статистических критериев часто основывается на использовании ряда специальных распределений случайных величин.
Нормальное распределение. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и , что обозначается как , если плотность вероятности этой случайной величины имеет вид
. (3.25)
График плотности вероятности случайной величины, имеющей нормальное распределение, представлен на рисунке 3.5, на котором видно, что максимум функции находится в точке .
Поскольку нормальное распределение подробно изучается в курсе теории вероятностей, напомним свойства нормальной случайной величины, которые будут использоваться в дальнейшем.
Рис. 3.5
1) , .
2) Случайная величина называется центрированной, если ее математическое ожидание равно нулю. Для того чтобы центрировать случайную величину, надо вычесть из нее математическое ожидание:
.
3) Случайная величина называется нормированной, если ее дисперсия равна единице, а математическое ожидание равно нулю.
Для того чтобы нормировать случайную величину, надо ее поделить на среднее квадратическое отклонение:
.
Центрированная и нормированная нормальная случайная величина называется стандартной. Таким образом, стандартной будет случайная величина
~ . (3.26)
Вероятность попадания случайной величины в интервал (α,β) вычисляется по формуле
, (3.27)
где - интеграл вероятности, представляющий собой функцию распределения стандартной нормально распределенной случайной величины. Интеграл вероятности табулирован. Его значения приведены в таблице В Приложения.
Для стандартной нормальной случайной величины и симметричного промежутка формула (3.27) принимает следующий вид:
. (3.28)
Распределение (хи-квадрат). Если , независимые стандартные нормальные случайные величины, то говорят, что случайная величина
(3.29)
имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы, что обозначается как . Графики плотности вероятности для двух значений степени свободы приведены на рис.3.6.
Рис. 3.6
С увеличением числа степеней свободы плотность вероятности стремится к нормальной. При плотность вероятности постоянно убывает, а при имеет единственный максимум , , .
Распределение Стьюдента. Пусть , , , - независимые стандартные нормальные случайные величины. Тогда случайная величина
(3.30)
имеет распределение Стьюдента с степенями свободы, что обозначается как , при этом
, .
На рис.3.7 приведены кривые стандартного нормального распределения (кривая 1) и плотности распределения Стьюдента (кривая 2).
Рис. 3.7
При плотность распределения Стьюдента стремится к плотности стандартной нормальной случайной величины.
На практике, как правило, используется не плотность вероятности, а квантиль распределения. Напомним, что квантилью порядка (или уровня) непрерывной случайной величины называется такое ее значение , которое удовлетворяет равенству ,
где - функция распределения, а - заданное значение вероятности. Рис.3.8 поясняет понятие квантили порядка .
Рис. 3.8
Следующая теорема устанавливает свойства основных выборочных характеристик, вычисленных по выборке, соответствующих нормальному распределению.
Теорема Фишера. Пусть - случайная выборка из генеральной совокупности , тогда выборочное среднее и несмещенная выборочная дисперсия независимы, и при этом
1) случайная величина имеет распределение ;
2) случайная величина имеет распределение ;
3) случайная величина имеет распределение .
Доказательство теоремы приведено в [2].