Критерий согласия Пирсона

Предположим, что выполнено измерений некоторой случайной величины ξ: ,..., , (4.4)

и есть основания полагать, что результаты распределены нормально с плотностью вероятности

. (4.5)

Параметры закона распределения и σ обычно неизвестны. Вместо неизвестных параметров подставляют значения их оценок, которые вычисляют по следующим формулам:

, (4.6)

. (4.7)

В качестве критерия проверки выдвинутой гипотезы примем критерий согласия Пирсона (критерий согласия “хи- квадрат”)

, (4.8)

где – число интервалов, на которые разбито выборочное распределение, - частоты эмпирического распределения; – частоты теоретического распределения. Из формулы вытекает, что критерий характеризует близость эмпирического и теоретического распределений: чем меньше различаются и , тем меньше значение χ².

Доказано, что при закон распределения случайной величины (4.8) независимо от того, какому закону распределения подчинена генеральная совокупность, стремится к закону распределения χ² с степенями свободы. Число степеней свободы определяется равенством , где - число частичных интервалов; – число параметров предполагаемого распределения, которые были оценены. Для нормального распределения оцениваются два параметра (математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение), поэтому .

В соответствии с процедурой проверки гипотезы следует вычислить наблюдаемое значение критерия. Чтобы вычислить частоты эмпирического распределения, весь интервал наблюдаемых значений делят на частичных интервалов (бинов) точками :

. (4.9)

определяют, подсчитав число измерений (4.4), которые попадают в - й интервал .

Используя теоретический закон распределения (4.5) можно рассчитать ожидаемое число результатов измерений для каждого интервала . Вероятность того, что результат одного измерения попадает в интервал , равна

, (4.10)

где – интегральный закон нормального распределения: . Учитывая, что функция распределения с параметрами и σ связана со стандартной нормальной функцией формулой , соотношение (4.10) можно записать в следующем виде:

. (4.11)

Поскольку проводится не одно, а измерений и эти измерения независимы, то их можно рассматривать как испытаний Бернулли, в которых “успехом” считается попадание результата измерения в интервал . Тогда числа вычисляются по формуле

(4.12)

(математическое ожидание числа “успехов” при испытаниях).

Для заданного уровня значимости по таблицам определяют критическое значение критерия. Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия делают, вывод о соответствии экспериментальных данных предполагаемому закону распределения.

Пример 4.1. Проверить с помощью критерия χ² при уровне значимости 0,05 гипотезу о том, что выборка объема , представленная интервальным вариационным рядом в таблице 4.4, извлечена из нормальной генеральной совокупности.

Таблица 4.4

Номер интервала i	Границы интервала	Частота
	0 – 2
	2 – 4
	4 –6
	6 – 8
	8 – 10

Решение. 1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы: H₀ – эмпирическое распределение соответствует нормальному; H₁ - эмпирическое распределение не соответствует нормальному.

Для проверки нулевой гипотезы необходимо рассчитать наблюдаемое значение критерия χ²_набл по формуле (4.8) и сравнить его с критическим значением χ²_кр.

2. Определим параметры предполагаемого (теоретического) нормального закона распределения.

Найдем середины интервалов и относительные частоты . Получим следующие значения:

Оценку математического ожидания найдем по формуле (4.1):

Оценки дисперсии и стандартного отклонения вычислим по формулам (4.2) и (4.3):

;

3. Выполним расчет теоретических частот по формуле (4.12). Для вычисления вероятностей по формуле (4.11) воспользуемся таблицей В Приложения со значениями нормальной стандартной функции распределения. При этом наименьшее значение, т. е. , полагаем равным , а наибольшее, т.е. , полагаем равным . Последовательно находим для интервала (-∞, 2)